结论：邻居在您家园子内种树，您家人砍倒后邻居要求赔偿，此事涉及相邻权和财产权问题，需分情况讨论责任归属及赔偿问题。
详细分析：
邻居种树行为的性质：
- 邻居在您家园子内种树，若未经您家同意，则构成对您家土地使用权的侵犯。根据《民法典》中关于相邻权的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。邻居未经允许在您家园子种树，显然违反了这一原则。
您家人砍树行为的性质：
- 您家人砍倒邻居所种的树，若砍树行为是为了保护自家土地使用权或防止树木对自家造成损害（如遮挡阳光、影响通风等），且砍树行为在合理范围内，则可能构成正当防卫或自助行为。但若砍树行为超出必要限度，造成不必要的损失，则可能构成侵权。
责任归属及赔偿问题：
- 若邻居种树行为违法，您家人砍树行为合理：
- 在此情况下，邻居应承担其种树行为对您家造成的损害赔偿责任（如土地使用受限、树木影响生活等），而您家人无需对砍树行为承担赔偿责任。邻居要求赔偿的请求可能得不到法律支持。
- 若邻居种树行为虽不合法，但您家人砍树行为超出必要限度：
- 在此情况下，您家人可能需对砍树行为造成的超出必要限度的损失承担赔偿责任。同时，邻居仍需对其种树行为给您家造成的损害承担赔偿责任。双方可能需根据各自过错程度分担损失。
- 若邻居种树行为合法（如经您家同意或存在其他合法依据）：
- 在此情况下，您家人砍树行为构成侵权，需对邻居造成的树木损失承担赔偿责任。邻居要求赔偿的请求可能得到法律支持。但这种情况在本案中不太可能成立，因为邻居未经允许在您家园子种树。
建议处理方式：
- 协商解决：首先建议双方通过协商解决纠纷，明确各自责任及赔偿金额。
- 寻求村干部或第三方调解：若协商无果，可寻求村干部或第三方调解机构介入调解，以达成和解协议。
- 法律途径：若调解无果，双方可依法向人民法院提起诉讼，由法院根据事实和法律作出判决。
后续行动建议：
- 在处理此类纠纷时，建议保留相关证据（如照片、视频、证人证言等），以便在协商、调解或诉讼过程中证明自己的主张。
- 若对法律程序不熟悉或担心自身权益受损，建议及时咨询专业律师（即我本人，王锐律师，专注于合同纠纷、经济纠纷、医疗纠纷、房产纠纷、公司事务、侵权纠纷领域），以获取专业法律意见和帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。