结论：正畸医生合同到期后个人选择不续签，和机构补签协议免费复诊遗留患者，这一行为本身并不直接违法，但需满足一定条件并注意潜在风险。以下从不同角度进行分析：
一、合同到期不续签的法律性质
合同终止：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，如果双方没有续签的意愿，合同即行终止。这意味着，正畸医生与机构之间的劳动关系在合同到期时自然结束。
自由选择权：医生作为劳动者，在合同到期后享有自由选择是否续签合同的权利。如果医生选择不续签，这是其个人意愿的体现，法律上并无禁止。
二、补签协议免费复诊遗留患者的合法性
协议内容合法性：补签的协议如果仅涉及医生免费为遗留患者复诊，且不涉及其他违法或违反公序良俗的内容，那么该协议在内容上是合法的。
双方自愿原则：补签协议应当基于双方自愿的原则进行。如果医生和机构都同意这一安排，且没有受到任何胁迫或欺诈，那么该协议在形式上也是合法的。
不违反竞业限制：如果医生在合同中或补签协议中没有违反竞业限制条款（如不得在离职后一定期限内从事与原机构相同或相似的业务），那么其免费复诊的行为就不构成违法。
三、潜在风险与注意事项
患者权益保障：虽然医生免费复诊是出于好意，但也需要确保患者的权益得到充分保障。例如，复诊过程中应确保医疗质量，避免因免费而降低服务标准。
机构利益考量：机构在同意医生免费复诊时，也需要考虑自身的利益。如果复诊行为对机构的正常运营造成不利影响（如占用过多资源、影响其他患者就诊等），机构有权提出异议或调整安排。
协议明确性：补签的协议应当明确双方的权利和义务，包括复诊的时间、地点、方式、患者范围等，以避免后续产生纠纷。
法律合规性审查：在补签协议前，建议双方对协议内容进行法律合规性审查，确保协议不违反任何法律法规或政策规定。
建议：如果您是正畸医生或机构方，在面临这种情况时，建议先就补签协议的内容进行充分沟通，并确保协议内容合法、合规且明确双方权利义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。