在犯罪嫌疑人被批准逮捕后，申请取保候审是一个涉及法律程序的重要环节。为了给您提供清晰、详细且具有深度的解答，我将根据案件所处的不同阶段，详细阐述应向哪个机关申请取保候审以及相关的注意事项。
一、取保候审申请的总体方向
取保候审的申请应向当前负责处理该案件的办案机关提出。这通常包括公安机关、人民检察院和人民法院，具体取决于案件所处的阶段。
二、具体申请流程及对应机关
侦查阶段：
- 若案件由公安机关负责侦查，且犯罪嫌疑人被公安机关执行逮捕，那么取保候审的申请应向执行逮捕的公安机关提出。此时，您需要准备详细的取保候审申请书，说明申请理由和拟采取的保证方式（如保证人保证或保证金保证），并提交给负责侦查的公安机关。
- 若案件由人民检察院直接受理并侦查（如贪污贿赂犯罪、国家工作人员的渎职犯罪等），且犯罪嫌疑人被逮捕，那么取保候审的申请应向负责侦查的人民检察院提出。同样，您需要提交详细的申请书，并由检察院进行综合考量后作出决定。
审查起诉阶段：
- 当案件侦查终结并移送至人民检察院审查起诉时，若犯罪嫌疑人已被逮捕，取保候审的申请应向负责审查起诉的人民检察院提出。检察院会结合案件事实、证据以及犯罪嫌疑人的社会危险性等因素，决定是否准许取保候审申请。
审判阶段：
- 若案件已进入审判阶段，且犯罪嫌疑人、被告人被逮捕，取保候审的申请应向负责审理该案件的人民法院提出。法院会根据控辩双方提供的证据和辩论情况，以及被告人的具体情况，判断是否符合取保候审的条件，并作出相应决定。
三、申请取保候审的注意事项
- 提供充分理由和证据：在申请取保候审时，您应提供充分的理由和证据，以证明犯罪嫌疑人符合取保候审的条件。这可能包括犯罪嫌疑人不具有社会危险性、有固定的住所和收入、能够遵守相关规定等。
- 明确保证方式：您还需明确拟采取的保证方式，并确保所提供的保证人或保证金符合相关法律规定。保证人应具备相应的资格和条件，保证金也应符合法律规定的数额和缴纳方式。
- 保持与办案机关的沟通：在整个申请过程中，您应保持与办案机关的沟通，及时了解申请进展，并根据办案机关的要求补充相关材料或说明情况。
四、取保候审的执行与期限
- 取保候审由公安机关执行。一旦取保候审申请被批准，公安机关将负责监督被取保候审人遵守相关规定。
- 被取保候审人在取保候审期间必须严格遵守相关法律法规，积极配合案件侦查、起诉及审理等工作。
- 取保候审的期限有明确法律规定，最长不得超过12个月。在取保候审期间，如果案件需要进一步侦查或审理，办案机关可能会根据情况决定是否继续取保候审或采取其他强制措施。
综上所述，犯罪嫌疑人被批准逮捕后，申请取保候审应向当前负责处理该案件的办案机关提出，并遵循相关的法律程序和规定。通过正确的申请流程和充分的准备，您可以有效地维护犯罪嫌疑人的合法权益，同时确保司法程序的顺利进行。