核心结论：能否领取失业金以及领取的月数，需结合缴费年限、重新就业后的缴费情况以及当地具体规定综合判断，一般可领取的月数在3个月至24个月之间，具体分情况说明如下：
- 领取失业金的资格条件
根据《社会保险法》第四十五条，领取失业金需同时满足三个条件：
- 失业前用人单位和本人已缴纳失业保险费满1年；
- 非因本人意愿中断就业（如合同到期不续签、被辞退等）；
- 已进行失业登记，并有求职要求。
关键点：您从政府公益岗位离职后与第三方签订合同，若原单位已为您缴纳失业保险满1年，且此次不续签属于“非本人意愿中断就业”（如合同到期单位不续签），则符合领取资格；若未缴满1年或主动离职，则无法领取。
- 领取月数的计算规则
根据《社会保险法》第四十六条，失业金领取月数与缴费年限挂钩：
- 缴费满1年不足5年的，最长领取12个月；
- 缴费满5年不足10年的，最长领取18个月；
- 缴费10年以上的，最长领取24个月。
特殊情形：若您在第三方公司工作期间继续缴纳失业保险，重新就业后的缴费年限会与之前合并计算。例如，原单位缴费3年，第三方公司缴费1年，则总缴费年限为4年，对应最长可领取12个月失业金。但需注意，若第三方公司未为您缴纳失业保险，则仅按原单位缴费年限计算。
- 重新就业后的影响
若您在第三方公司工作期间未缴纳失业保险，且此次不续签符合领取条件，则领取月数仅按原单位缴费年限计算；若第三方公司为您缴纳了失业保险，则需合并计算缴费年限，但领取月数仍以“最后一次失业前”的累计缴费年限为准（例如，原单位3年+第三方1年=4年，对应12个月）。
提示：部分地区规定，重新就业后再次失业的，领取失业金期限可与前次未领取期限合并计算，但最长不超过24个月。具体需以当地社保政策为准。
- 操作建议
- 第一步：确认原单位和第三方公司是否为您缴纳失业保险及缴费年限（可通过社保查询平台或到社保局打印缴费记录）；
- 第二步：若符合领取条件，在离职后60日内到当地社保局办理失业登记和失业金申领手续；
- 第三步：提供材料包括身份证、劳动合同、离职证明、社保缴费记录等（具体以当地要求为准）。
总结：您能否领取失业金及具体月数，需结合原单位和第三方公司的缴费年限、离职原因以及当地政策综合判断。建议尽快查询社保缴费记录，并向当地社保局确认细节，避免因超期或材料不全影响权益。如有其他疑问，可直接向我咨询。