结论：
- 关于是否构成遗弃罪：母亲与人私奔留下未成年孩子不管不顾，是否构成遗弃罪，需根据具体情节判断，若达到情节恶劣的程度，则可能构成遗弃罪。
- 关于老了是否需要赡养：即便母亲的行为构成遗弃罪或未构成但违反了抚养义务，儿女在法律上仍然负有赡养义务。
详细分析：
一、关于是否构成遗弃罪
遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣的行为。针对您母亲的情况，我们可以从以下几个方面进行分析：
主体与客体：
- 主体：您母亲作为未成年子女的法定监护人，负有抚养教育的义务。
- 客体：侵犯的是您（作为未成年子女）在家庭成员中的平等权利及人身权利。
行为对象与行为表现：
- 行为对象：您作为未成年人，属于没有独立生活能力的家庭成员。
- 行为表现：您母亲与人私奔，留下您不管不顾，即表现为负有扶养义务却拒绝扶养。
情节恶劣：
- 这是构成遗弃罪的必要条件。若您母亲的行为导致您生命健康受到严重威胁，如长期缺乏食物、住所、医疗等基本生活保障，或者导致您流离失所、被迫乞讨等，则可能被认定为情节恶劣。
若构成遗弃罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
若不构成遗弃罪：
- 虽不构成遗弃罪，但您母亲的不管不问行为仍违反了抚养义务。此时，您或其他监护人可以通过民事途径解决，如要求支付抚养费，或通过社会救助机构寻求帮助。
二、关于老了是否需要赡养
即便您母亲的行为构成遗弃罪或未构成但违反了抚养义务，您在法律上仍然负有赡养义务。这一义务是基于父母与子女之间的身份关系产生的，具有法定性，不会因父母的过错行为而消除。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条的规定，成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。
特殊情况下的考量：
- 在司法实践中，如果父母对子女实施了严重的犯罪行为，如故意杀害子女、虐待子女情节严重等，子女可能可以免除赡养义务。然而，您母亲与人私奔通常不属于上述严重犯罪行为的范畴，因此一般不能以此为由拒绝赡养。
- 如果您因母亲私奔行为在经济、精神等方面遭受了极大伤害，并能提供相关证据，法院在确定赡养方式和费用时可能会综合考虑这些因素，作出合理判决。但这并不意味着可以完全免除赡养责任，而是可能在具体执行上有所调整。
建议：
- 面对复杂的家庭情况，您可以与家人共同商量，寻求合适的解决办法。这可能包括协商赡养方式、分担赡养责任等。
- 如果您感到压力过大或情绪困扰，可以考虑寻求专业的心理咨询帮助，以更好地应对和处理这一情境。
总之，即便您母亲的行为构成遗弃罪或未构成但违反了抚养义务，您在法律上仍然负有赡养义务。这是基于法律规定的法定责任，不会因父母的行为而改变。在实际操作中，您可以根据具体情况和家人协商解决办法，并在必要时寻求专业帮助。