结论：机关食堂被私人承包后，原食堂员工的去留问题并非一概而论，而是取决于多种因素，包括原合同的条款、新承包方的意愿以及相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细分析：

1. 原合同条款的影响：

   • 如果原合同中明确规定了合同到期后的处理方式，比如自动续签、双方协商续签或终止合同等，那么应当按照原合同的约定来处理。
   • 若原合同未明确约定合同到期后的处理方式，那么员工与食堂（或原管理方）之间的劳动关系将按照相关法律法规的规定来处理，通常这意味着合同到期自然终止，除非双方愿意续签。

2. 新承包方的意愿：

   • 新承包方在接手食堂后，有权根据自己的经营需要和策略来决定是否继续雇佣原食堂员工。
   • 如果新承包方愿意继续雇佣原员工，那么双方可以协商签订新的劳动合同，明确新的工作条件、薪酬待遇等。
   • 如果新承包方不愿意继续雇佣原员工，那么原员工将面临失业的风险，但可以根据相关法律法规的规定要求原管理方或新承包方支付相应的经济补偿（如果符合法定条件）。

3. 相关法律法规的规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期终止的，除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 如果原食堂员工与原管理方之间的劳动合同因食堂承包给私人而提前终止，且这种终止并非由于员工的原因造成的，那么员工也有权要求原管理方支付相应的经济补偿。
   • 同时，新承包方在接手食堂后，如果与原员工签订了新的劳动合同，那么双方应当按照新合同的约定履行各自的义务。

4. 实际操作建议：

   • 对于原食堂员工来说，首先应当仔细审查自己与原管理方签订的劳动合同，了解合同到期后的处理方式以及自己的权利和义务。
   • 如果合同即将到期或已经到期，且新承包方尚未明确表示是否继续雇佣，员工可以主动与新承包方或原管理方进行沟通，了解自己的就业前景和可能的补偿方案。
   • 如果员工认为自己的权益受到了侵害，比如被非法解雇或未获得应有的经济补偿，那么可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼来维护自己的合法权益。

总结与进一步思考：机关食堂被私人承包后，原食堂员工的去留问题是一个复杂而敏感的问题。它涉及到原合同的条款、新承包方的意愿以及相关法律法规的规定等多个方面。因此，在处理这类问题时，建议员工保持冷静和理性，仔细审查自己的合同和权益，并积极与相关方进行沟通协商。如果遇到困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供专业的法律建议和帮助。