可以申请赔偿社保，但需根据具体情况判断责任主体及赔偿方式。以下从不同角度为你详细分析：

1. 劳动派遣关系中社保缴纳的责任主体
   根据《劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行对被派遣劳动者的义务，包括签订劳动合同、缴纳社保等。因此，若劳务派遣单位未依法为你缴纳社保，你有权要求其补缴或赔偿损失。即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如工资发放记录、工作证、考勤记录等），仍可主张权利。

2. 未签劳动合同的额外赔偿
   若劳务派遣单位未与你签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，你还有权主张自用工之日起第二个月至第十二个月的双倍工资差额（最多11个月）。但需注意：

   • 需证明事实劳动关系存在（如工资流水、工作安排记录等）；
     
   • 仲裁时效为1年，自你知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

3. 用工单位的连带责任
   根据《劳动合同法》第九十二条，若用工单位（实际使用你劳动的单位）存在过错（如未督促派遣单位缴纳社保），可能需承担连带赔偿责任。但社保缴纳的直接责任仍在派遣单位，用工单位通常不直接补缴，而是通过协商或诉讼要求派遣单位履行义务。

4. 申请赔偿的途径

   • 协商：先与派遣单位沟通，要求补缴社保或赔偿损失；
     
   • 投诉：向当地社保部门（如社保局、劳动监察大队）举报，要求强制征缴；
     
   • 仲裁/诉讼：若协商无果，可申请劳动仲裁，主张补缴社保、赔偿损失及未签合同的双倍工资差额。

行动建议：

1. 收集证据：保留工资条、工作证、考勤记录、与派遣单位或用工单位的沟通记录等，证明劳动关系及未缴社保的事实；
   
2. 优先协商或投诉：效率较高，且能避免诉讼成本；
   
3. 若协商无果，及时申请仲裁：注意1年时效限制。
   

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