针对装修公司未履行合同约定施工的问题，其监管部门及相关法律法规可以归纳如下：
监管部门：
- 住房和城乡建设部门：这是主要的监管部门，负责建筑市场的统一监管，包括装修公司的资质管理、施工行为的监督等。如果装修公司未按照合同约定进行施工，您可以向当地的住房和城乡建设部门投诉，他们会根据相关规定进行调查处理。
- 市场监督管理部门：该部门也承担一定的监管职责，特别是当装修公司的行为涉嫌违反市场监管法律法规时，如虚假宣传、欺诈消费者等，市场监督管理部门会介入调查并处理。
相关法律法规：
- 《中华人民共和国民法典》：这是处理合同纠纷的基本法律。根据《民法典》的相关规定，当事人应当按照约定全面履行自己的义务。如果装修公司未按照合同约定进行施工，即构成违约，您有权要求其承担违约责任，包括继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等。
- 《中华人民共和国建筑法》：该法规定了建筑活动的监督管理、建筑工程许可、建筑工程发包与承包、建筑工程监理等方面的内容。虽然它主要针对的是建筑工程，但装修工程作为建筑活动的一部分，也受到该法的约束。如果装修公司的施工行为违反了建筑法的相关规定，您也可以依据该法进行维权。
- 《建设工程质量管理条例》：这是针对建设工程质量管理制定的行政法规，其中也涉及了装修工程的质量管理。如果装修公司未按照合同约定进行施工，导致工程质量问题，您可以依据该条例要求其承担相应的责任。
在处理此类纠纷时，建议您采取以下步骤：
- 收集证据：首先，您需要收集与装修公司签订的合同、付款凭证、施工过程中的照片或视频等证据，以证明装修公司未按照合同约定进行施工。
- 与装修公司协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与装修公司进行协商，要求其按照合同约定继续施工或采取补救措施。如果协商无果，您可以考虑采取法律手段进行维权。
- 向监管部门投诉：如果协商无果，您可以向当地的住房和城乡建设部门或市场监督管理部门投诉，要求他们介入调查并处理。
- 提起诉讼：如果监管部门的处理结果未能满足您的需求，您可以考虑向法院提起诉讼，要求装修公司承担违约责任并赔偿您的损失。
最后，需要提醒您的是，在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。同时，如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。