在小孩被车撞的情况下，关于对方提出私下赔款并签署协议的问题，这确实是一个需要特别谨慎处理的情况。为了确保协议的合法性、公平性，并充分保护未成年受害人的权益，以下是我为您提供的详细建议：
一、强烈建议咨询专业律师
在签署任何私了赔偿协议之前，我强烈建议您先咨询一位专业律师。律师能够根据具体情况，为您提供法律上的专业意见，确保协议内容既合法又有效，同时能够充分保护您和孩子的合法权益。
二、私了赔偿协议的关键要素
如果您决定与对方进行私了，并签署赔偿协议，那么协议中应包含以下关键要素：
双方信息：包括受害小孩及其法定代理人的信息，以及肇事方的信息，如姓名、身份证号码、联系方式等。
事故经过与责任认定：明确事故发生的时间、地点，以及双方一致确认的事故经过和责任认定。这是协议的基础，也是后续赔偿的依据。
赔偿项目与金额：详细列出所有赔偿项目，如医疗费用、护理费用、营养费用、交通费用、精神损害抚慰金等，并明确每个项目的具体金额。这些金额应基于实际损失和合理预期进行协商确定。
支付方式与时间：规定赔偿费用的支付方式（如一次性支付或分期支付）和支付时间。确保支付条款明确、具体，以便后续执行。
双方权利与义务：明确双方在协议中的权利和义务，如甲方有权要求乙方按时支付赔偿费用，乙方有权要求甲方提供真实、合法的票据等。
后续事宜与争议解决：规定协议签署后的后续事宜，如甲方不得再就本次事故向乙方提出索赔要求等。同时，明确争议解决方式，如协商不成时，任何一方均有权向法院提起诉讼。
三、私了赔偿协议的风险与注意事项
法律风险：私了赔偿协议虽然可以简化处理程序，但也可能存在法律风险。如果协议内容不合法或存在瑕疵，可能导致协议无效或无法执行。
未成年人保护：由于涉及未成年人，更应谨慎对待。未成年人的权益应得到充分保护，协议内容应确保不会对未成年人造成不利影响。
证据保留：在签署协议前，务必保留好所有相关证据，如医疗费用票据、交通费用票据等。这些证据是后续赔偿的依据，也是维护自身权益的重要手段。
四、结论与建议
综上所述，虽然私了赔偿协议在某些情况下可能是一种可行的解决方案，但考虑到涉及未成年人的特殊性和法律风险的复杂性，我强烈建议您在签署任何协议之前先咨询专业律师。律师能够为您提供全面的法律建议和指导，确保协议内容的合法性和有效性，并充分保护您和孩子的合法权益。