当劳动合同第二次到期，而单位选择不续签时，关于赔偿的问题，这主要取决于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定以及您的具体情况。以下是我为您详细梳理的赔偿相关要点：

一、经济补偿的支付条件

根据《劳动合同法》的规定，二次固定期限劳动合同到期后，除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意，否则用人单位在终止劳动合同时，应向您支付经济补偿。这意味着，如果单位没有维持或提高原劳动合同条件，且您没有拒绝续签的意愿，那么单位就需要支付经济补偿。

二、经济补偿的计算标准

经济补偿的计算主要依据您在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资。具体来说：

1. 每满一年工作，支付一个月工资的经济补偿。
2. 六个月以上不满一年的，按一年计算，支付一个月工资的经济补偿。
3. 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

三、特定情形下的赔偿

如果您符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等），且单位拒绝续签，这种行为可能构成违法终止劳动合同。在此情况下，您有权主张赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。

四、维权建议

1. 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行沟通协商，了解不续签的具体原因，并争取合理的经济补偿。
2. 保留证据：为了确保维权成功，您应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，这些证据将有助于您证明自己的工作年限和工资水平。
3. 寻求法律帮助：如果双方无法达成一致，您可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁或提起诉讼时，您可以咨询专业律师以获取更准确的法律意见和解决方案。

举例说明：

假设您在某公司工作了3年零8个月，劳动合同第二次到期后公司决定不续签，且您劳动合同解除前十二个月的平均工资为8000元。那么，公司应支付给您的经济补偿金额为4×8000=32000元（工作年限3年零8个月，按4年计算）。如果您符合签订无固定期限劳动合同的条件，且公司拒绝续签被认定为违法终止劳动合同，则公司应支付的赔偿金为64000元（即经济补偿标准的二倍）。

综上所述，当劳动合同第二次到期单位不续签时，您有权根据《劳动合同法》的相关规定要求单位支付经济补偿或赔偿金。为了确保自己的权益得到妥善保护，建议您在遇到此类问题时及时咨询专业律师或法律机构。