行政公益诉讼案件终结诉讼的法理依据主要来源于诉讼目的的实现、法律规定的情形以及公共利益的维护等多个方面。以下是对这些法理依据的详细阐述：

1. 诉讼目的的实现：

   • 行政公益诉讼的核心目的在于保护国家利益和社会公共利益，纠正行政机关的违法行为或怠于履职行为。当诉讼目的已经实现，即行政机关已经依法履行了其职责，或者违法行为已经得到纠正，且公共利益得到了有效保护时，诉讼便失去了继续进行的必要。此时，终结诉讼是符合诉讼经济原则和诉讼目的实现的。

2. 法律规定的情形：

   • 根据相关法律法规的规定，行政公益诉讼在特定情形下可以终结。例如，当原告（通常是检察机关）撤诉，且法院认为撤诉不损害国家利益和社会公共利益时，可以裁定终结诉讼。此外，如果案件在审理过程中发现不符合起诉条件，如原告主体不适格、被告不明确等，法院也可能裁定终结诉讼。

3. 公共利益的维护：

   • 行政公益诉讼的特殊性在于其涉及的是公共利益。在诉讼过程中，如果法院认为继续审理可能对公共利益造成不利影响，或者诉讼的继续进行已经无法有效维护公共利益时，可能会考虑终结诉讼。例如，在某些紧急情况下，为了迅速制止违法行为对公共利益的侵害，法院可能会采取先予执行等措施，并在后续审理中根据实际情况决定是否终结诉讼。

具体案例与法律解释：

• 在某起行政公益诉讼案件中，检察机关发现某行政机关未依法履行对某污染企业的监管职责，导致环境污染严重。检察机关提起诉讼后，行政机关在诉讼过程中积极整改，依法履行了监管职责，污染企业也停止了违法行为并进行了环境修复。此时，诉讼目的已经实现，法院根据相关法律法规的规定，裁定终结了诉讼。

• 另一案例中，检察机关提起行政公益诉讼后，发现案件涉及的法律关系复杂，且存在其他更有效的解决途径（如行政调解、行政复议等）。为了更高效地维护公共利益，检察机关决定撤诉，并转而通过其他途径解决争议。法院在审查后认为撤诉不损害国家利益和社会公共利益，因此裁定终结了诉讼。

法律建议：

• 对于行政机关而言，应依法履行职责，避免违法行为或怠于履职行为的发生，以减少行政公益诉讼的风险。
• 对于检察机关而言，在提起行政公益诉讼前应充分评估诉讼的必要性和可行性，确保诉讼能够有效维护公共利益。
• 对于法院而言，在审理行政公益诉讼案件时应严格依法裁判，确保诉讼的公正性和效率性。同时，也应根据案件实际情况灵活运用终结诉讼等制度，以更好地维护公共利益。

如有任何关于行政公益诉讼或相关法律问题的疑问，可以直接向我咨询。