店家油烟臭的问题，主要归环保（生态环境）部门管理，但同时也可能涉及城市管理部门、市场监督管理部门以及当地街道办事处或社区居委会的协调配合。下面我将从这几个部门的角度，详细解释他们各自的职责和处理方式：

环保（生态环境）部门

• 适用情况：当店家的油烟排放对周边居民的生活环境造成了明显影响，比如油烟味过重、影响空气质量等，且超出了国家规定的大气污染物排放标准时，环保部门就会介入。
• 法律依据：根据《中华人民共和国大气污染防治法》，餐饮服务项目必须对油烟等污染物进行有效治理和排放控制，达到相应标准。环保部门对大气污染防治实施统一监督管理。
• 处理方式：居民可以通过电话举报、网络举报等方式向环保部门投诉。环保部门会派员现场调查，确认污染后要求店家整改，比如安装高效油烟净化设备、调整油烟排放管道等。对拒不整改或整改不到位的店家，环保部门可依法进行警告、罚款等处罚。

城市管理部门

• 适用情况：如果店家在店外设置油烟机等设备影响市容市貌，或者存在违规搭建、占用公共空间等问题，城市管理部门就会进行查处。
• 法律依据：根据《城市市容和环境卫生管理条例》，一切单位和个人都应保持建筑物整洁，不得堆放、吊挂有碍市容的物品。
• 处理方式：城市管理部门会对店家的违规行为进行查处，要求恢复原状、拆除违规设施，并可能给予行政处罚。

市场监督管理部门

• 适用情况：如果店家的油烟问题导致厨房卫生环境不达标，影响食品安全，市场监督管理部门就会介入。
• 法律依据：根据《中华人民共和国食品安全法》，食品生产经营必须符合食品安全标准，遵守卫生规范。
• 处理方式：市场监督管理部门会检查店家的厨房卫生状况，要求整改油烟排放问题以确保食品安全。拒不整改的店家可能面临吊销食品经营许可证等处罚。

街道办事处或社区居委会

• 适用情况：居民也可以先向街道办事处或社区居委会反映情况，寻求协调解决油烟问题。
• 处理方式：街道办事处或社区居委会的工作人员会与店家业主沟通，了解情况，说明居民诉求，协商解决方案，比如调整油烟机运行时间、加强油烟净化设备的维护等。

额外建议：

• 在处理店家油烟臭的问题时，居民应保留好相关证据，比如拍摄的照片、视频或者记录的油烟排放时间等，以便在投诉时提供有力支持。
• 如果问题复杂或者涉及多个部门，居民也可以考虑寻求法律援助或者咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。

希望这些信息能对你有所帮助。如果你还有其他问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。