针对双方发生纠纷，两名中年男士将一名老人推倒导致住院的情况，处理方式如下：
一、紧急处理与证据固定
立即送医救治：
- 首要任务是确保老人的生命安全和身体健康。应立即将老人送往正规医院进行全面检查和治疗，不可因任何原因延误救治时机。
- 保留所有病历、诊断证明、检查报告及医疗费票据，这些将是后续索赔的关键证据。
报警处理：
- 迅速拨打110报警电话，详细描述事件的时间、地点、经过及涉事人员信息。
- 警方将进行现场勘查、询问证人并固定证据，为后续责任认定提供基础。
二、责任认定与证据收集
配合警方调查：
- 主动向警方提供所知信息，协助调查。警方出具的责任认定书是划分各方责任的重要依据。
- 若对责任认定有异议，可在规定时间内申请复核。
寻找目击证人：
- 记录现场目击者的联系方式，请其向警方提供真实证言，以还原事件真相。
- 目击证人的证言对于证明事件经过和责任归属至关重要。
调取监控录像：
- 若事件发生地有监控摄像头，及时联系相关管理部门调取并保存监控录像。
- 监控录像作为直观证据，能够清晰地展示事件经过，有助于明确责任。
三、依法索赔与协商解决
确定赔偿责任人：
- 根据责任认定结果，明确需承担赔偿责任的主体，可能包括推老人的个人及场所管理者等。
- 若场所管理者未尽到安全保障义务，也可能需承担相应责任。
计算赔偿金额：
- 详细列出赔偿项目，如医疗费、护理费、误工费、营养费、交通费、住院伙食补助费等。
- 若构成伤残，还可要求残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。具体计算公式可参考相关法律规定或咨询专业律师。
尝试协商：
- 在明确责任与赔偿金额后，可与对方进行协商，邀请第三方（如人民调解委员会）参与，促进达成赔偿协议。
- 协商过程中，应保持冷静和理性，避免情绪化行为影响协商结果。
法律途径维权：
- 若协商无果，可向法院提起民事诉讼，提交充分证据，要求法院判决对方承担赔偿责任。
- 在此过程中，建议聘请专业律师以确保权益得到最大化保护。律师将协助准备诉讼材料、参与庭审等，提高胜诉几率。
四、关注老人后续康复与生活质量
心理支持：
- 除身体治疗外，还需关注老人的心理状态，给予必要的心理支持和安慰。
- 可考虑寻求专业心理咨询师的帮助，帮助老人缓解心理压力和焦虑情绪。
康复训练：
- 协助老人进行康复训练，确保其尽快恢复健康。
- 根据医生建议制定康复计划，并定期陪同老人进行复查和评估。
生活照顾：
- 提供必要的生活照顾和精神陪伴，让老人感受到社会的温暖与关爱。
- 可考虑安排家人或聘请护工照顾老人的日常生活起居。
在处理此类事件时，务必保持冷静和理性，依法维护自身权益。 若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。