没有终止劳动合同证明，劳动者依然可以申请劳动仲裁。关键在于是否存在劳动争议，如拖欠工资、未依法缴纳社保、违法解除劳动关系等，且劳动者可以通过其他多种证据来佐证相关事实。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动仲裁的受理条件与关键

劳动仲裁是解决劳动争议的法定途径。申请劳动仲裁需要满足一定条件，主要包括申请人与本案有直接利害关系、有明确的被申请人、有具体的仲裁请求和事实理由、属于劳动争议仲裁委员会的受理范围和管辖范围。重要的是，并没有要求必须提供终止劳动合同证明作为申请的前提。

劳动仲裁受理的关键在于双方是否存在实质性的劳动争议。只要存在如拖欠工资、未依法缴纳社保、违法解除劳动关系等争议，即便没有终止劳动合同证明，劳动者也有权提出仲裁申请。仲裁机构会根据双方提交的其他证据来综合认定事实，并作出裁决。

二、替代终止劳动合同证明的证据

在没有终止劳动合同证明的情况下，劳动者可以通过其他多种证据来替代，以证明劳动关系的存在及终止的相关事实。这些证据包括但不限于：

1. 用人单位发出的辞退通知、短信、邮件等官方文件：这些文件能够直接证明用人单位与劳动者之间劳动关系的终止情况。
2. 同事证言、工作交接记录、聊天记录等间接证据：这些证据可以从侧面证明劳动关系的终止，以及终止的原因和过程。
3. 工资支付记录显示工资发放截止时间：这也是证明劳动关系终止的一个重要线索，能够反映用人单位与劳动者之间劳动报酬支付的终止情况。
4. 其他能够形成完整证据链，达到证明目的的材料：如业务合同、客户订单、项目报告等，这些材料上可能会有劳动者的参与和相关工作内容的体现，也是证明劳动关系的有力证据。

三、用人单位的责任与赔偿

若因用人单位未出具终止劳动合同证明，给劳动者造成损害的（如影响就业、无法领取失业金等），劳动者有权要求用人单位承担赔偿责任。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保用人单位履行其法定义务。

四、申请劳动仲裁的流程与后续法律途径

1. 准备证据：劳动者在申请劳动仲裁前，应尽可能收集并整理好所有相关证据，包括但不限于上述提到的替代证据，以证明自己的主张。
2. 提交仲裁申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请，清楚陈述自身诉求、事实理由及所依据的法律法规。
3. 仲裁审理：仲裁委员会受理后，将按照法定程序进行审理，包括听取双方陈述、审查证据、组织调解等，并最终作出裁决。
4. 后续法律途径：若劳动者对仲裁结果不服，可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法程序进一步维护自己的合法权益。

举例说明：假设劳动者小李因用人单位未依法支付经济补偿而被解除劳动关系，但用人单位未出具终止劳动合同证明。小李可以收集工资支付记录、辞退通知（如有）、同事证言等证据，向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，要求用人单位支付经济补偿并承担因未出具终止劳动合同证明而造成的损失。

综上所述，没有终止劳动合同证明并不妨碍劳动者申请劳动仲裁。劳动者在面临劳动争议时，应积极收集证据，了解相关法律法规，通过合法途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。