核心结论：在客户不付款且没有合同的情况下，可通过收集其他证据证明交易关系及对方违约事实，通过协商、发送律师函、提起诉讼或申请仲裁等方式追讨款项。以下为具体分析：
- 收集证据
- 交易记录：尽可能收集与该客户交易过程中的各类记录，如送货单、收货单、对账单、发票等。这些单据上若有客户方的签字确认，能直接证明双方存在交易关系以及交易的具体内容、金额等关键信息。例如，送货单上详细记录了货物的名称、数量、规格以及送货时间，收货单上有客户方工作人员的签字，表明客户已收到货物。
- 沟通记录：保存与客户就交易事宜进行沟通的聊天记录、邮件往来等。在沟通中，客户可能会承认欠款事实、承诺付款时间等内容，这些都可以作为证明对方违约的重要证据。比如，在微信聊天记录中，客户明确表示“这个月月底一定把货款结清”，但到期未付，这就构成了其违约的证据。
- 证人证言：如果有了解交易情况的第三方证人，如共同参与交易的其他人员、知晓交易过程的合作伙伴等，他们的证言也可以在一定程度上证明交易的存在以及客户欠款的事实。但证人证言的证明力相对较弱，需要结合其他证据综合使用。
- 协商解决
- 在收集到一定证据后，可以尝试与客户进行友好协商。通过电话、面谈或书面函件等方式，向客户明确指出其欠款事实，并要求其按照约定支付款项。在协商过程中，要保持冷静和理性，避免情绪化的表达，同时注意保留协商的记录，如通话录音、书面协商函等。例如，可以发送一份正式的催款函，详细说明欠款金额、欠款原因、付款期限以及逾期付款的法律后果等内容，要求客户在规定时间内付款。
- 发送律师函
- 如果协商无果，可以考虑委托律师向客户发送律师函。律师函具有正式性和权威性，能够向客户表明你方维护自身权益的坚定态度，并对客户产生一定的法律威慑力。律师函中会详细阐述欠款事实、法律依据以及要求客户付款的具体期限等内容，同时告知客户如果不履行付款义务，将面临法律诉讼等后果。许多客户在收到律师函后，会意识到问题的严重性，从而主动履行付款义务。
- 提起诉讼或申请仲裁
- 诉讼：如果上述方式均无法解决问题，可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在起诉前，要准备好起诉状、证据材料等相关文件。起诉状中应明确写明原告、被告的基本信息、诉讼请求（如要求客户支付欠款及逾期利息等）、事实与理由等内容。法院受理案件后，会依法进行审理，并根据查明的事实和法律规定作出判决。如果判决生效后客户仍不履行付款义务，你可以向法院申请强制执行，通过查封、扣押、冻结客户财产等方式实现债权。
- 仲裁：如果双方在交易过程中有约定仲裁条款，或者事后达成仲裁协议，也可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁具有一裁终局的特点，程序相对灵活，效率较高。仲裁机构会根据双方提供的证据和仲裁规则进行裁决，裁决作出后即具有法律效力，当事人应当履行。如果客户不履行仲裁裁决，你可以向有管辖权的人民法院申请强制执行。
在处理此类问题时，每个环节都需要谨慎对待，确保所采取的措施合法有效。如果你在操作过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询。