结论：合同到期被通知月底离职，并非必须立即走人，需根据具体情况判断是否续签或存在其他法定情形。以下是具体分析：

1. 合同到期后的常规处理
   根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，合同终止。若双方未就续签达成一致，用人单位可依法终止合同，但需注意以下程序：

   • 提前通知义务：若未续签且用人单位不续签，通常无需提前30天通知（除非地方性法规有特殊要求），但需在合同到期时明确告知。
     
   • 经济补偿：若用人单位不续签或降低条件导致劳动者不续签，需支付经济补偿（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
     
   • 若劳动者希望续签：可主动与用人单位协商，若用人单位拒绝，则按上述补偿处理。

2. 是否存在必须“立即走人”的例外情形

   • 用人单位违法终止：若合同到期时劳动者存在《劳动合同法》第四十二条规定的情形（如患病、孕期、未完成工伤医疗期等），用人单位不得终止合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿的2倍）。
     
   • 未履行法定程序：若用人单位未支付经济补偿或未出具终止证明，劳动者可拒绝离职并主张权益。
     
   • 公益岗的特殊性：公益性岗位通常受地方政策约束（如《就业促进法》），若地方规定合同到期需优先续签或延长服务期，需以具体政策为准。

3. 建议行动步骤

   • 核查合同条款：确认合同是否约定到期自动续签、续签条件或特殊终止条款。
     
   • 与用人单位沟通：要求出具书面终止通知，明确终止理由及补偿方案。
     
   • 保留证据：保存工资条、工作证明、终止通知等材料，以备维权。
     
   • 维权途径：若认为用人单位违法，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

总结：合同到期不必然导致立即离职，需结合续签意愿、法定情形及地方政策综合判断。若对用人单位的处理有异议，建议及时沟通并保留证据，必要时通过法律途径维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。