结论：出租车在撞到您的狗后离开现场，且交警未出警的情况下，是否构成肇事逃逸，需根据具体情况判断，但存在构成肇事逃逸的可能性。以下从多个角度为您详细分析：
一、肇事逃逸的构成要件
根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，肇事逃逸通常指交通事故发生后，肇事者为了逃避法律追究而逃离现场的行为。其构成要件主要包括：
- 存在交通事故：即车辆与车辆、车辆与行人、车辆与其他物体之间发生了碰撞或接触。
- 肇事者明知发生事故：肇事者必须意识到事故的发生，这是构成逃逸的主观要件。
- 逃离现场：肇事者在事故发生后，未履行保护现场、救助伤者、报告交警等法定义务，而擅自离开。
二、出租车行为是否构成肇事逃逸的分析
存在交通事故：
- 出租车与您的狗发生了碰撞，这构成了一起交通事故。尽管狗不属于“行人”或“其他车辆”，但属于“其他物体”，因此满足交通事故的构成要件。
出租车司机是否明知发生事故：
- 如果出租车司机在碰撞时意识到了与您的狗发生了接触，且知道这种接触可能造成了损害，那么可以认为他明知发生了事故。
- 如果司机因疏忽或未注意到碰撞而离开，则可能不构成明知发生事故。但这种情况在现实中较为少见，因为碰撞通常会产生明显的震动或声音。
出租车司机是否逃离现场：
- 出租车司机在报警后离开现场，如果报警后未等待交警到来或未留下有效联系方式，且未采取其他措施（如留下字条、拍照留证等）以表明其愿意承担责任，那么这种行为可能被视为逃离现场。
- 如果司机报警后因紧急情况（如送伤者就医）而离开，但事后及时与交警或您联系并说明情况，则可能不构成逃离现场。
三、交警未出警的影响
- 交警未出警并不影响肇事逃逸的构成。交警是否出警取决于多种因素，如事故严重程度、交警资源分配等。即使交警未出警，肇事者仍应履行保护现场、救助伤者、报告交警等法定义务。
- 如果出租车司机因交警未出警而认为可以离开现场，这种想法是错误的。交警未出警并不免除肇事者的法律责任。
四、建议与措施
收集证据：
- 尽快收集现场照片、视频、证人证言等证据，以证明出租车与您的狗发生了碰撞以及出租车司机离开现场的事实。
报警并说明情况：
- 向交警部门详细说明事故经过和出租车司机的行为，要求交警部门进行调查并出具事故认定书。
寻求法律援助：
- 如果交警部门认定出租车司机构成肇事逃逸，您可以根据事故认定书向出租车司机或其所在公司索赔。如果索赔过程中遇到困难或争议，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供法律建议和帮助。
注意诉讼时效：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您应在诉讼时效期间内提起诉讼或主张权利。
最后，交通事故的处理需要综合考虑多种因素，包括事故经过、证据收集、法律适用等。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。