结论：出租车司机在撞死您的狗后未停留处理而直接驾车离开，该行为很可能构成交通肇事逃逸。
一、交通肇事逃逸的认定
根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通肇事逃逸是指发生交通事故后，交通事故当事人为逃避法律追究，驾驶车辆或者遗弃车辆逃离交通事故现场的行为。在此案例中，出租车司机在撞死您的狗后，未下车查看情况、未报警或采取其他任何措施，而是直接驾车离开，这一行为符合交通肇事逃逸的构成要件。
二、动物侵权的责任承担
虽然此案例主要涉及的是交通肇事逃逸，但我们也应关注到动物侵权方面的责任。根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，如果出租车司机在行驶过程中未尽到合理的注意义务，导致您的狗被撞死，那么司机在民事上可能需要承担一定的赔偿责任。然而，由于司机已经逃逸，您可能难以直接向其主张民事赔偿。
三、可能的法律后果
行政处罚：对于交通肇事逃逸的行为，交通管理部门有权对逃逸者进行行政处罚，包括罚款、吊销驾驶证等。
刑事责任：如果逃逸行为导致严重后果（如人员伤亡或重大财产损失），逃逸者还可能承担刑事责任。虽然此案例中并未涉及人员伤亡，但如果逃逸行为被认定为情节恶劣，也有可能面临刑事处罚。
民事赔偿：尽管逃逸者可能面临行政处罚或刑事责任，但您作为狗的主人，仍然有权通过法律途径追究其民事赔偿责任。不过，由于逃逸者已经逃离现场，您可能需要通过报警、调取监控等方式来收集证据，以便后续维权。
四、建议与措施
立即报警：您应尽快向当地交通管理部门或公安机关报案，说明情况并提供相关证据（如现场照片、监控录像等）。
收集证据：尽可能收集与事故相关的证据，包括事故现场的照片、视频、目击者证言等。这些证据将有助于您后续维权。
咨询律师：由于此类案件涉及法律程序和证据收集等方面的问题，建议您咨询专业律师以获取更详细的法律建议和指导。
关注后续处理：在报警并收集证据后，您应关注交通管理部门或公安机关对案件的后续处理情况，并根据需要配合调查工作。
如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。