结论：员工被公司仲裁的情况下，公司仍然有权就其他与员工相关的争议事项向员工提起诉讼或仲裁，这主要取决于双方争议的具体内容和法律关系的性质。
分析说明：
仲裁与诉讼的独立性：
- 仲裁和诉讼是两种独立的争议解决方式。公司选择对员工提起仲裁，并不意味着它放弃了通过诉讼解决其他争议的权利。同样，员工被公司仲裁，也不影响公司就其他事项对员工提起诉讼或仲裁。
争议事项的多样性：
- 劳动纠纷可能涉及多个方面，如工资支付、加班费、解除劳动合同的经济补偿、工伤赔偿等。公司可能就其中一个或多个事项对员工提起仲裁或诉讼。
- 如果公司已经就某一事项对员工提起了仲裁，但它认为员工还存在其他违法行为或违约行为，公司仍然有权就这些新的事项对员工提起诉讼或仲裁。
法律关系的复杂性：
- 在某些情况下，员工和公司之间的法律关系可能非常复杂，涉及多个法律领域和多个争议点。例如，一个员工可能同时涉及违反公司规章制度、侵犯公司商业秘密、未履行竞业限制义务等多个问题。
- 对于这些复杂的问题，公司可能需要根据具体情况选择不同的争议解决方式，或者在同一争议解决方式中提出多个请求。
法律建议：
对于公司：
- 在决定对员工提起仲裁或诉讼前，应仔细评估争议事项的性质、证据的充分性以及可能的法律后果。
- 如果公司认为员工存在多个违法行为或违约行为，应考虑是否将这些事项一并纳入仲裁或诉讼请求中，以节省时间和成本。
对于员工：
- 如果员工被公司仲裁或诉讼，应积极应对，了解自己的权利和义务，并寻求专业的法律帮助。
- 员工也应评估自己是否存在违法行为或违约行为，并考虑如何与公司协商解决争议或准备应对仲裁或诉讼。
后续行动与可能后果：
- 如果公司决定对员工提起新的仲裁或诉讼，员工将需要再次面对法律程序，并可能需要承担相应的法律责任（如支付赔偿金、履行合同义务等）。
- 员工和公司之间的争议如果无法通过协商解决，可能会持续较长时间，并可能对双方的关系和声誉产生负面影响。因此，建议双方在争议发生时积极寻求和解或调解的方式解决争议。
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