司机在给雇主开车过程中病亡，需根据具体情况判断责任归属及处理方式，主要涉及工伤认定、雇主责任及继承相关法律问题，具体分析如下：

1. 工伤认定角度
   根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，或在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。若司机病亡符合该情形（如驾驶途中突发疾病且未脱离工作岗位），其家属可申请工伤认定，享受工伤保险待遇，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金及一次性工亡补助金。需注意，若司机病亡与工作无直接关联（如自身疾病发作且非工作强度导致），则可能不构成工伤，需通过其他途径主张权利。

2. 雇主责任角度
   若雇主未履行法定安全保障义务（如未安排司机定期体检、明知司机存在健康隐患仍安排长途驾驶），可能被认定为存在过错。根据《民法典》第一千一百九十二条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方过错承担相应责任。若雇主过错与司机病亡存在因果关系，家属可要求雇主承担部分赔偿责任（如医疗费、死亡赔偿金等）。但若司机病亡系自身疾病导致且雇主无过错，雇主通常无需承担赔偿责任。

3. 继承与债务清偿角度
   司机病亡后，其遗产需优先清偿债务（如未结清的工资、借款等），剩余部分由继承人继承。若司机与雇主存在未结清的劳务费用（如工资、奖金），家属可作为继承人向雇主主张权利。同时，若司机病亡导致雇主财产损失（如车辆损坏），雇主可能需通过遗产清偿程序主张赔偿，但需以遗产实际价值为限。

建议家属采取以下步骤：

1. 立即报警并保留现场证据（如行车记录仪、医疗记录），固定病亡与工作关联性；
   
2. 向当地社保部门申请工伤认定，并提交劳动关系证明、病亡证明等材料；
   
3. 若雇主存在过错，收集证据（如工作安排记录、健康检查报告）并协商赔偿；
   
4. 协商无果时，可向法院提起民事诉讼或劳动仲裁，主张工伤待遇或雇主责任赔偿。
   

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