结论：辞退在工厂工作了五个月的工人，补偿情况需根据辞退的具体原因来确定，可能涉及经济补偿金或赔偿金，也可能无需支付补偿。以下分情况详细说明：

一、合法辞退且无需支付补偿的情况

如果工人存在以下情形之一，工厂可以合法辞退且无需支付经济补偿金：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的：但工厂需要提供充分的证据证明工人不符合录用条件，如试用期考核不合格等。
2. 严重违反用人单位的规章制度的：工厂需有明确的规章制度，且该规章制度已经告知工人，工人确实存在严重违反规章制度的行为。
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：工厂需要证明工人的行为构成了严重失职或营私舞弊，并且给工厂造成了重大损害。
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：工厂需要证明工人存在与其他用人单位建立劳动关系且对本单位工作任务造成严重影响，或者经提出后拒不改正的情况。
5. 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：即工人以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使工厂在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的。
6. 被依法追究刑事责任的：工人被依法追究刑事责任，工厂可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。

二、合法辞退但需支付经济补偿金的情况

如果工厂因以下原因辞退工人，虽然属于合法辞退，但需要支付经济补偿金：

1. 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的：工厂需要支付一个月工资的经济补偿金。
2. 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的：工厂同样需要支付一个月工资的经济补偿金。
3. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的：在这种情况下，工厂也需要支付经济补偿金。

经济补偿金的计算公式为： \(经济补偿金 = 劳动者在本单位工作的年限 \times 劳动者月工资\) 由于工人在工厂工作了五个月，未满六个月，因此经济补偿金为半个月工资。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

三、违法辞退的情况

如果工厂违法辞退工人，即不符合上述合法辞退的情形，工人有权要求工厂支付赔偿金。

赔偿金的计算公式为： \(赔偿金 = 2 \times 经济补偿金\) 即赔偿金为一个月工资（因为经济补偿金为半个月工资，所以赔偿金为经济补偿金的两倍）。

建议：

1. 在辞退工人前，工厂应仔细审查辞退的原因和依据，确保辞退行为合法合规。
2. 如果需要支付经济补偿金或赔偿金，工厂应按照法律规定及时支付，以避免引发劳动纠纷。
3. 如果对辞退行为或经济补偿金、赔偿金的计算有疑问，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。