结论概述：在原单位合同到期后，与新单位签订劳动合同时，一般不需要再与原单位签订解除劳动关系合同，但需确保与原单位的劳动关系已实际终止，并办理好相关离职手续。
详细分析：
劳动合同终止的法定情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，当您与原单位的劳动合同到期时，该合同即自动终止，无需再额外签订解除劳动关系的合同。
离职手续的办理：
- 尽管劳动合同到期自动终止，但您仍需与原单位办理离职手续，包括但不限于工作交接、工资结算、社保转移等。这些手续的办理是确保您与原单位之间劳动关系彻底终止的重要步骤，也是您与新单位建立劳动关系的前提。
与新单位签订劳动合同的注意事项：
- 在与新单位签订劳动合同时，您应确保已与原单位完全解除了劳动关系，并保留好相关离职证明或终止劳动合同的证明文件。这些文件将作为您与新单位建立劳动关系的合法依据，避免潜在的法律纠纷。
特殊情况的处理：
- 如果您在原单位合同到期前，已与原单位协商一致提前终止劳动合同，并签订了相关协议，那么您同样需要确保该协议已得到有效执行，且已办理好所有离职手续。
- 如果您在原单位合同到期后，因某些原因（如未办理离职手续、存在未了结的债务等）仍与原单位存在法律关系，那么您在与新单位签订劳动合同时，应谨慎处理，避免因此给新单位带来不必要的法律风险。
法律建议：
- 在原单位合同到期前，建议您提前与原单位沟通，了解离职手续的具体办理流程和要求，确保在合同到期时能够顺利办理离职。
- 在与新单位签订劳动合同时，务必仔细阅读合同条款，特别是关于劳动关系建立、工资待遇、社保缴纳等方面的内容，确保自己的合法权益得到保障。
- 如果您在离职过程中遇到任何法律问题或纠纷，建议及时咨询专业律师，以便得到及时、有效的法律帮助。
可能后果：
- 如果您未与原单位办理好离职手续，就直接与新单位签订劳动合同，可能会面临原单位追究法律责任的风险，如要求赔偿因未办理离职手续而给原单位造成的损失等。
- 如果您在与新单位签订劳动合同时，未如实告知自己与原单位的劳动关系状况，可能会给新单位带来不必要的法律风险，如因您与原单位的纠纷而影响新单位的正常运营等。因此，诚实信用是建立劳动关系的重要原则。