结论前置：未续签劳动合同，劳动者要求支付双倍工资的期限主要涉及双倍工资的计算期间以及仲裁时效两个核心问题，具体如下：
一、双倍工资的计算期间
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条及《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第六条、第七条的规定，未续签劳动合同的双倍工资计算期间如下：
超过一个月不满一年未续签：
- 用人单位自劳动合同期满之日起超过一个月不满一年未与劳动者续订书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付两倍的工资。
- 计算期间：从劳动合同期满后的第二个月开始，至补订书面劳动合同的前一日为止，但最长不超过十一个月。
- 示例：若劳动合同在2023年10月1日期满，用人单位在2023年11月1日至2024年8月31日期间未与劳动者续签，则需从2023年11月1日起至补签合同前一日（即2024年8月31日）支付双倍工资。
视为订立无固定期限劳动合同情形下的双倍工资：
- 如果用人单位自劳动合同期满之日起满一年不与劳动者续订书面劳动合同，除需按照上述规定支付双倍工资外，还视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同。
- 计算期间：自应当订立无固定期限劳动合同之日起（即劳动合同期满满一年之日），至补订书面劳动合同的前一日为止，但此阶段双倍工资的计算同样受前述十一个月的限制（即从期满后第二个月起算至满一年前一日已满十一个月的，不再重复计算）。
二、仲裁时效
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。对于未续签劳动合同的双倍工资请求，仲裁时效的计算需注意以下几点：
逐月起算法（常见实践）：
- 从劳动合同到期未续签的第二个月起，每月的双倍工资差额分别计算仲裁时效。
- 示例：劳动合同于2023年1月1日到期未续签，则2023年2月的双倍工资差额仲裁时效自2023年3月1日起算一年；2023年3月的双倍工资差额仲裁时效自2023年4月1日起算一年，以此类推。
特殊时效规则：
- 在劳动关系存续期间，因劳动者持续处于无法自由行使诉权的客观状态，仲裁时效可能自动中止。但离职后，整体双倍工资差额的仲裁时效自离职之日起重新计算一年。
时效届满的法律后果：
- 超过仲裁时效的请求将丧失胜诉权，但实体权利本身不因此消灭。若用人单位未提出时效异议并提供证据，仍可能支持劳动者的部分请求。
三、实际操作建议
- 及时主张权利：劳动者应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内及时申请劳动仲裁，避免因超过时效而丧失胜诉权。
- 保留证据：劳动者应保留好与用人单位的劳动关系存续、工资发放情况等相关证据，以便在仲裁或诉讼中证明自己的主张。
- 了解当地规定：由于地区差异，具体仲裁时效的计算方式可能有所不同。劳动者应查阅当地具体劳动法规或咨询当地劳动仲裁机构，以获取最准确、最权威的法律建议。
总结：未续签劳动合同，劳动者要求支付双倍工资的期限涉及双倍工资的计算期间和仲裁时效两个核心问题。劳动者应及时了解当地法律规定，保留好相关证据，并在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内及时申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。