结论：子女能否继承父亲的遗产，与父亲是否出轨、子女是否被赶出家门以及是否断绝来往并无直接关系，主要取决于子女是否属于法定继承人以及父亲是否留有有效遗嘱。同时，子女对父亲的赡养义务是法定的，不因父亲的行为而免除，但未尽赡养义务可能会影响继承份额。

分析如下：

1. 法定继承的角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女是父母的法定继承人之一。这意味着，在父亲没有留下有效遗嘱的情况下，子女有权继承父亲的遗产。
   • 父亲出轨、将子女赶出家门或断绝来往等行为，并不构成子女丧失继承权的法定理由。除非子女有严重侵害父亲权益的行为（如故意杀害、虐待、遗弃等），否则不会丧失继承权。

2. 遗嘱继承的角度：

   • 如果父亲在生前留下了有效遗嘱，并且遗嘱中明确排除了子女的继承权，那么子女将无法继承父亲的遗产。
   • 遗嘱的效力高于法定继承，因此，如果遗嘱合法有效，子女必须尊重遗嘱的内容。

3. 赡养义务与继承权的关系：

   • 子女对父母有法定的赡养义务，这是基于亲情和道德的义务，也是法律规定的责任。即使父亲出轨或断绝来往，子女仍然需要履行赡养义务。
   • 如果子女未尽赡养义务，虽然不会直接导致丧失继承权，但在继承遗产时，可能会根据具体情况减少其应继承的份额。这是为了体现权利与义务的对等原则。

4. 实际操作中的建议：

   • 如果子女希望继承父亲的遗产，首先需要确认父亲是否留下了有效遗嘱。如果没有遗嘱，则按照法定继承的顺序和份额进行继承。
   • 如果子女与父亲之间存在矛盾或纠纷，建议通过沟通、协商或调解等方式解决，以维护家庭和谐和亲情关系。
   • 如果子女在继承过程中遇到法律问题或纠纷，可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。

总结与建议：子女能否继承父亲的遗产，主要取决于是否属于法定继承人以及父亲是否留有有效遗嘱。同时，子女应履行对父亲的赡养义务，这不仅是法律规定的责任，也是维护家庭和谐和亲情关系的重要体现。如果子女在继承过程中遇到任何问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。