结论：开着公司的车出了事故且自己全责时，一般情况下不需要个人直接去处理全部赔偿事宜，但具体责任承担需根据事故情况、公司规定及个人行为综合判断。以下是详细分析：
一、公司承担赔偿责任的情形
职务行为：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此，若您是在执行公司工作任务时发生交通事故，且事故责任被认定为全责，那么赔偿责任原则上应由公司承担。
公司车辆保险：
- 公司车辆通常投保了交强险和商业险，事故发生后，保险公司将在保险范围内承担赔偿责任。您应及时通知公司并联系保险公司报案，配合保险公司完成理赔程序。
二、个人可能承担责任的情形
存在故意或重大过失：
- 故意：若您明知自己的行为会导致损害后果，却希望或放任其发生，如为报复而故意碰撞他人车辆，公司有权在承担赔偿责任后向您追偿。
- 重大过失：若您因严重疏忽或过于自信，未遵守交通法规或基本安全要求，导致事故发生，如醉酒驾驶、严重超速、无证驾驶等，您可能需承担相应责任。
违反公司内部规定：
- 若您违反了公司关于车辆使用、驾驶操作等方面的内部规定，如未经允许私自将车开回家发生事故，公司可能依据规章制度要求您承担一定责任。
超出工作范围驾驶：
- 若您的行为超出了工作任务范围，并非在执行工作任务时发生交通事故，如完成工作任务后私自使用车辆办私事期间发生事故，您应自行承担赔偿责任。
三、事故处理流程
确保人员安全并报警：
- 立即停车，检查伤亡情况，如有受伤者应立即拨打急救电话。同时，拨打交警电话报警，等待交警到场处理。
配合交警调查与责任认定：
- 向交警如实陈述事故发生的经过，提供行车记录仪视频、现场照片等证据，协助交警准确判断事故责任。在交警出具事故责任认定书后，确认自己承担全部责任，并签字认可。
通知公司与保险公司：
- 尽快向公司相关部门或负责人报告事故情况，说明事故原因、责任认定及损失情况。同时，联系公司车辆的投保保险公司报案，告知事故详情，以便保险公司启动理赔程序。
协商赔偿事宜：
- 根据事故造成的实际损失，确定赔偿范围。与对方车主或伤者及其家属进行沟通，就赔偿金额和方式达成一致意见。如果双方能够协商解决，可以签订赔偿协议并履行赔偿义务。若协商不成，可建议对方通过法律途径解决纠纷。
关注后续处理事项：
- 与保险公司保持密切联系，及时了解理赔进度和所需材料。妥善保管好所有与事故相关的证据和材料，以备不时之需。同时，从事故中吸取教训，加强安全意识，遵守交通规则，避免类似事故的再次发生。
四、涉及工伤的处理（如适用）
若您在事故中也受到了伤害，且该伤害被认定为工伤，那么您还可以享受工伤保险待遇。具体流程包括申请工伤认定、进行劳动能力鉴定以及享受相应的工伤保险待遇。
建议：在处理此类事故时，建议您保持冷静，按照上述流程妥善处理。同时，及时与公司沟通并咨询我的意见，以明确自身责任并妥善处理后续事宜。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。