结论：劳动合同不续签但劳动者继续工作，原劳动合同并非持续有效，而是形成了新的事实劳动关系。以下从用人单位和劳动者两个角度进行详细分析：
用人单位角度
法律责任与风险：
- 补签劳动合同：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，用人单位应在事实劳动关系形成之日起一个月内与劳动者补签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免后续纠纷。
- 支付双倍工资：若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第六条，应向劳动者每月支付两倍的工资作为赔偿。
- 视为无固定期限劳动合同：若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第七条，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同，用人单位不能随意终止劳动关系。
处理建议：
- 用人单位应及时与劳动者沟通，明确是否继续劳动关系，并尽快补签书面劳动合同。
- 若决定终止劳动关系，应依法支付经济补偿，并提前书面通知劳动者，以避免法律风险。
劳动者角度
权益保障：
- 劳动权益受保护：即使劳动合同期满未续签，但只要劳动者仍在继续工作，其劳动权益（如工资、劳动条件等）依旧受到法律的保护，并应依照原劳动合同或事实劳动关系的约定来执行。
- 主张双倍工资：劳动者有权要求用人单位从劳动合同期满次月起支付双倍工资，若协商不成，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
维权途径与建议：
- 收集证据：劳动者应收集工作证、考勤记录、工资条等证据，以证明事实劳动关系的存在及工作时间，为后续维权提供有力支持。
- 要求补签合同或获得补偿：劳动者可要求用人单位补签劳动合同以明确双方权利义务。若用人单位拒绝续签，劳动者可要求支付经济补偿。在用人单位违法解除劳动关系的情况下，劳动者还可要求支付赔偿金（经济补偿标准的二倍）。
- 特殊情况处理：若满足条件，劳动者可领取失业金。但若因自身意愿主动不续签，则不满足领取条件。同时，若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，劳动者可视为已订立无固定期限劳动合同，享有相应的权益。
总结与建议：劳动合同到期未续签但劳动者继续工作的情况在实际中较为常见，用人单位和劳动者都应充分了解各自的法律权利和义务。用人单位应及时补签劳动合同以避免法律风险，而劳动者则应积极维护自己的合法权益，必要时通过法律途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。