结论：在劳动合同签了一年后没有续签，但劳动者继续上班6年的情况下，劳动者确实有权要求用人单位支付未续签期间的双倍工资，但需注意这一权利的行使存在时间限制，且具体情况可能因地区和具体案情而有所不同。
法律背景与解释
劳动关系的延续：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，若劳动者仍在原用人单位工作且单位未表示异议，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。这意味着，尽管书面合同未续签，但劳动关系在实际上仍然存在。
双倍工资的责任：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期后未及时续签的情况。但需要注意的是，这一权利的行使通常受到一年时效的限制，即从应签订书面劳动合同之日起满一年后的次日起，劳动者一般不能再主张此前的双倍工资。不过，具体时效可能因地区而异，部分地区可能支持更长时间的追索。
无固定期限劳动合同的订立：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着，在您的情况下，尽管书面合同未续签，但双方实际上已经形成了无固定期限的劳动关系。
具体分析与建议
关于双倍工资的追索：
- 考虑到您已经继续工作了6年，从法律上讲，您可能已经错过了主张大部分未续签期间双倍工资的最佳时机。然而，具体能否追索以及追索的期限，还需根据您所在地区的具体法律规定和司法实践来判断。因此，我建议您尽快咨询当地劳动监察部门或劳动争议仲裁委员会，以了解您的具体权益和可行的追索途径。
关于无固定期限劳动合同：
- 既然双方已经形成了无固定期限的劳动关系，您有权要求用人单位与您补签书面劳动合同，明确双方的权利和义务。这有助于保护您的合法权益，避免未来可能出现的劳动争议。
证据保留与维权途径：
- 在等待处理的过程中，请务必保留好所有与工作相关的证据，如工资单、考勤记录、工作任务分配等。这些证据将在未来的劳动争议中起到至关重要的作用。
- 如协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，或直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满意时，还可以向人民法院提起诉讼。
可能的法律后果
- 如果用人单位被认定存在未及时续签劳动合同的违法行为，且您能够提供充分的证据支持您的主张，那么用人单位可能需要向您支付未续签期间的双倍工资（尽管可能受到时效限制）。
- 同时，用人单位还可能面临劳动行政部门的责令改正和可能的赔偿责任（如果对您造成了损害）。
总结与建议
- 鉴于您已经继续工作了6年且未续签书面劳动合同，我建议您首先与用人单位沟通，表达补签书面劳动合同的期望，并了解未续签的原因。
- 同时，咨询当地劳动监察部门或劳动争议仲裁委员会，以了解您的具体权益和可行的追索途径。
- 在整个过程中，务必保留好所有与工作相关的证据，以支持您的主张。
如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。