公司不让连着节日请假是否合法，需根据具体假期类型、员工申请情况以及单位工作安排来综合判断。以下是从不同假期类型出发的详细分析：
法定节假日：
- 法定节假日，如元旦、春节等，是国家规定的全民休息日。员工按规定申请休假，公司通常不得拒绝。若公司因特殊行业需要安排员工值班，应依法支付加班工资。因此，如果员工申请的是法定节假日的休假，公司无正当理由拒绝是不合法的。
年休假：
- 依据《职工带薪年休假条例》，连续工作1年以上的员工享有带薪年休假。若员工符合休假条件，并提前合理时间提出申请，且不影响单位正常工作，公司拒绝批假是不合法的。单位应保证员工享受年休假，否则需按日工资收入的300%支付未休年休假工资报酬。所以，如果员工申请的是年休假，且符合上述条件，公司不让连着节日请假（假设节日期间包含年休假）是不合法的。
病假：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因病需停止工作治疗时，享有医疗期。员工凭医院诊断证明等材料申请病假，公司一般应批准。公司可对病假申请流程和材料提出要求，但不能无故拒绝。因此，如果员工申请的是病假，且提供了必要的医疗证明，公司不让请假是不合法的。
事假：
- 事假因个人私事而请，法律对此无明确规定公司必须批准。公司可根据自身生产经营和工作安排决定是否批准事假申请。若员工事假申请对工作造成较大影响或提出不合理长时间事假，公司有权拒绝。但员工事假申请合理且已做好工作交接时，公司无正当理由拒绝可能引发劳动纠纷。所以，如果员工申请的是事假，公司是否让请假则取决于具体情况和公司的判断。
综合建议：
- 沟通与协商：员工在请假前应尽可能与公司进行沟通，说明请假原因和期限，以便公司合理安排工作。特别是当请假涉及节日连休时，提前与公司沟通显得尤为重要。
- 了解劳动合同与公司规定：员工应熟悉自己的劳动合同和公司规章制度中关于请假的具体规定，以确保自身权益不受侵害。如果公司规定与法律法规相冲突，员工有权提出异议并寻求法律帮助。
- 保留证据：如果公司无故拒绝员工合法请假申请，或因此威胁、扣减工资等，员工应保留相关证据（如请假申请、公司拒绝的回复、工资条等），以便在必要时维护自身权益。
总之，公司不让连着节日请假是否合法，需根据具体情况来判断。员工应了解自己的合法权益，并在必要时采取适当措施维护自身权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。