核心结论：员工第一次合同到期后未续签合同，此时解除劳动关系的方式及法律后果需分情况讨论，具体如下：

1. 用人单位未续签但继续用工的情况
   根据《劳动合同法》第八十二条及《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，若劳动合同到期后用人单位未续签但继续用工，双方形成事实劳动关系。此时：
   
   • 用人单位可随时解除劳动关系，但需支付经济补偿金（按工作年限计算，每满1年支付1个月工资）；
     
   • 若未提前30日书面通知解除，需额外支付1个月工资作为代通知金（仅适用于《劳动合同法》第四十条规定的情形，如员工患病、不能胜任工作等）；
     
   • 若用人单位违法解除（如无合法理由直接辞退），员工可要求继续履行合同或索赔2倍经济补偿金的赔偿金。
     

关键点：未续签合同期间，用人单位仍需承担未签书面合同的二倍工资差额责任（最多11个月，自合同到期次月起算）。

1. 员工主动提出不续签的情况
   若员工在合同到期后明确表示不续签，且用人单位无《劳动合同法》第三十八条规定的过错（如未足额支付工资、未缴社保等），则：
   
   • 劳动关系自然终止，用人单位无需支付经济补偿金；
     
   • 若员工以用人单位过错为由提出解除（如未提供劳动条件），可主张经济补偿金。
     

关键点：员工需保留书面或录音等证据证明其主动不续签的意思表示，避免被认定为用人单位未续签。

1. 双方协商一致解除的情况
   无论合同是否到期，双方均可通过协商一致解除劳动关系。此时：
   
   • 用人单位需支付经济补偿金（除非员工主动放弃）；
     
   • 建议签订书面解除协议，明确解除时间、补偿金额及双方无争议条款，避免后续纠纷。
     

关键点：协商解除需完全自愿，若存在胁迫、欺诈情形，协议可能被撤销。

操作建议：

• 用人单位：合同到期前应评估是否续签，若不续签需提前30日书面通知；若继续用工，务必在1个月内补签书面合同，避免二倍工资风险。
  
• 员工：若想离职，建议书面通知用人单位并保留证据；若被违法解除，可收集工资记录、考勤等证据申请劳动仲裁。
  

如有具体细节需进一步分析（如解除理由、工资标准等），可直接向我咨询。