结论：租客延续租房没有签合同，并不一定违法，但具体是否违法需根据租赁期限和地方行政管理规定来判断。
分析如下：
租赁期限较短（不满六个月）的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条的规定，租赁期限六个月以下的，可以采用口头或其他非书面形式订立租赁合同。因此，如果租客延续租房的期限在六个月以内，双方通过口头约定或其他方式明确租赁关系和相关事宜，是合法有效的。
- 实例说明：比如租客原本租赁房屋一个月，到期后双方口头协商再续租一个月，这种租赁关系是合法的。
租赁期限超过六个月未签订书面合同的情况：
- 当租赁期限超过六个月时，按照法律规定应当采用书面形式订立合同。若未签订书面合同，虽然不直接构成违法，但一旦双方在租赁过程中出现纠纷，如租金支付、租赁物损坏赔偿、租赁期限争议等，由于缺乏明确的书面约定，双方的权利义务将难以界定，可能给双方带来法律风险和经济损失。
- 实例警示：比如租赁期限为一年但未签订书面合同，半年后房东突然要求收回房屋，租客可能因缺乏书面合同的保障而面临困境。
违反地方行政管理规定的情况：
- 在某些地区，房屋租赁管理法规可能要求出租人和承租人必须签订书面租赁合同并进行备案登记。若违反这些规定，可能会面临行政处罚等法律后果。例如，一些城市为了加强房屋租赁市场的管理，规定出租房屋必须签订合同并到相关部门备案，未按规定执行者可能会被处以罚款等处罚。
建议与措施：
补签书面合同：
- 为明确双方的权利和义务，减少纠纷的发生，建议双方在协商一致的基础上补签书面合同。合同中应明确租赁期限、租金支付方式、维修责任等重要条款。
保留相关证据：
- 对于不定期租赁或无法补签合同的情况，双方应特别注意保留相关证据，如租金支付记录、聊天记录等。这些证据在发生争议时将有助于证明租赁关系及相关事实。
了解并遵守地方法规：
- 出租人和承租人在签订租赁合同前，应了解并遵守当地关于房屋租赁的法律法规和管理规定，以确保租赁行为的合法性。
后续行动建议：
- 如果您作为租客或房东，面临延续租房但未签合同的情况，建议尽快与对方协商补签书面合同，以明确双方的权利和义务。
- 如果双方无法就补签合同达成一致，或者已经发生了纠纷，建议及时咨询专业律师（即我，索建国律师），以便根据具体情况提供法律建议和帮助。
总之，租客延续租房没有签合同并不一定违法，但为了避免潜在的法律风险和经济损失，建议双方尽量签订书面合同并明确相关条款。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。