事业单位员工在享有公休假的同时，仍然有权请病假。以下是对这一问题的详细分析：

1. 公休假与病假的性质：

   • 公休假，通常指的是员工根据工作年限和单位规定享有的带薪休假，用于员工休息、旅游或处理个人事务等。
   • 病假，则是员工因疾病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据医疗机构的证明和单位规定享有的休假。

2. 两者之间的关系：

   • 公休假和病假是两种不同的休假类型，它们各自有独立的适用条件和规定。
   • 员工在享有公休假的同时，如果因疾病或非因工负伤需要停止工作医疗，仍然有权请病假。

3. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》和相关规定，员工享有休息休假的权利，包括公休假和病假。
   • 当员工因疾病需要停止工作医疗时，单位应当根据医疗机构的证明和单位规定，给予员工病假。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 员工在请病假时，应当提供医疗机构的证明，以证明其确实需要停止工作医疗。
   • 单位在审批病假时，应当根据医疗机构的证明和单位规定进行合理审批，不得无故拒绝或拖延。
   • 如果员工在公休假期间突发疾病需要请病假，单位应当根据实际情况进行妥善处理，确保员工的合法权益得到保障。

5. 可能遇到的特殊情况：

   • 如果员工在公休假期间已经安排了旅游或其他活动，但因突发疾病需要请病假，员工应当及时与单位沟通，说明情况并提供医疗机构的证明。
   • 单位在了解情况后，应当根据实际情况和单位规定，合理调整员工的休假安排或给予必要的支持。

总结与建议：

• 事业单位员工在享有公休假的同时，仍然有权请病假。这是员工的合法权益，单位应当予以保障。
• 如果您在请病假过程中遇到任何问题或困难，如单位拒绝审批、拖延审批等，您可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。