这种情况下，公安机关会依据事实和法律，对双方的行为进行调查取证，并根据调查结果依法处理，具体处理方式需分情况讨论：
若双方均存在过错，且均构成违法：
- 如果双方都动手打了对方，且都造成了对方身体伤害，那么双方都可能构成违反治安管理行为（如殴打他人）。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，公安机关会根据双方的过错程度、伤害后果等因素，对双方分别进行处罚，如警告、罚款、行政拘留等。
- 在处罚的同时，如果双方都提出了民事赔偿要求，公安机关会组织双方进行调解。调解成功的，双方签订调解协议，案件就此了结；调解不成的，双方可以向人民法院提起民事诉讼，通过法律途径解决赔偿问题。
若一方构成犯罪，另一方不构成犯罪：
- 如果一方的行为造成了另一方重伤或死亡等严重后果，那么该方可能构成故意伤害罪或故意杀人罪等刑事犯罪。此时，公安机关会依法立案侦查，收集证据，并将犯罪嫌疑人移送检察机关审查起诉。
- 对于不构成犯罪的一方，如果其也存在违法行为（如轻微殴打），公安机关仍会依法对其进行治安管理处罚。同时，不构成犯罪的一方也有权要求构成犯罪的一方承担民事赔偿责任。
关于双方同时住院的处理：
- 双方同时住院并不影响公安机关对案件的调查处理。公安机关会依法进行现场勘查、询问证人、调取监控录像等，以查明案件事实。
- 在双方住院期间，公安机关可能会根据需要到医院对双方进行询问或调查。双方应积极配合公安机关的工作，如实陈述事实，提供相关证据。
建议：
- 在此情况下，双方应保持冷静，避免情绪化行为导致事态进一步恶化。
- 积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。
- 如果双方都有损失，可以考虑在公安机关的主持下进行调解，以尽快解决纠纷。
- 如果调解不成或一方不同意调解，双方可以通过法律途径解决赔偿问题。
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