针对打人者和被打者都住院的情况，以下是详细的处理流程和建议：

首先，最重要的是及时报警。公安机关会迅速赶到现场，进行现场勘查和调查取证。他们会询问双方当事人、相关证人，并收集其他相关证据，以确定事件的起因、经过和双方的责任。

接下来，依据伤情鉴定结果来定性。公安机关会安排对双方进行伤情鉴定。如果双方伤情均为轻微伤，这通常被视为治安案件。在这种情况下，公安机关可以进行治安调解，努力促使双方就民事赔偿等问题达成协议。如果调解成功，双方可以签署调解协议，并据此了结此事。

然而，如果一方或双方的伤情为轻伤及以上，那么加害方就可能涉嫌刑事犯罪。此时，公安机关将依法立案侦查，并追究其刑事责任。同时，双方仍然有权要求对方赔偿因伤造成的各项损失。

关于民事赔偿部分，双方都有权要求对方赔偿医疗费、误工费、护理费、营养费等因伤造成的实际损失。赔偿问题可以通过协商、调解或民事诉讼等途径来解决。如果双方能够协商达成一致，可以签署赔偿协议。如果协商不成，任何一方都可以向法院提起民事诉讼，由法院根据双方的过错程度来划分赔偿责任比例，并作出相应的判决。

在整个处理过程中，双方应保持冷静和理智，积极配合公安机关和其他相关部门的工作。同时，医疗机构也应积极对伤者进行救治，确保其得到妥善的治疗和康复。

最后，如果双方对公安机关的处理结果有异议，或者认为公安机关迟迟不处理，可以向上级公安机关反映情况，或者向人民检察院申请立案监督。这样可以确保案件得到公正、及时的处理。

总之，打人者和被打者都住院的情况比较复杂，需要综合考虑多个方面。但只要双方保持冷静、理智，并积极配合相关部门的工作，问题通常能够得到妥善解决。