公民在面对违法建筑物经举报但相关部门不作为的情况下，确实可以提起行政复议。以下是对此问题的详细分析：

1. 行政复议的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益的，有权向行政复议机关提出行政复议申请。在此情境下，相关部门对违法建筑物的举报不作为，可视为一种具体行政行为的缺失或不当，公民因此有权提起行政复议。

2. 行政复议的适用情形：

   • 当公民举报违法建筑物后，若相关部门未在法定期限内履行查处职责，或未给予公民任何答复，均构成行政不作为。这种不作为直接影响了公民的合法权益，如居住环境的安全、公共资源的合理利用等。因此，公民有权针对这种不作为提起行政复议，要求相关部门履行其法定职责。

3. 行政复议的流程与要点：

   • 申请：公民需向具有管辖权的行政复议机关提交书面申请，明确列出复议请求、事实与理由，并提供相关证据材料。
   • 受理：行政复议机关在收到申请后，会进行初步审查，决定是否受理。若受理，则会通知相关部门提交答复及证据。
   • 审理：行政复议机关会组织双方进行听证或书面审理，对事实进行查证，对法律进行适用。
   • 决定：根据审理结果，行政复议机关会作出维持、撤销、变更或责令履行等决定。

4. 行政复议的后续行动：

   • 若公民对行政复议决定不服，还可以依法向人民法院提起行政诉讼，以进一步维护自己的合法权益。

5. 实际操作中的建议：

   • 在提起行政复议前，公民应尽可能收集并保存好相关证据，如举报记录、相关部门的回复（或无回复）等，以证明相关部门的不作为。
   • 公民在撰写行政复议申请时，应清晰、准确地阐述复议请求、事实与理由，以便行政复议机关能够全面、客观地了解案情。
   • 若公民对行政复议流程不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保复议申请的合法性与有效性。

综上所述，公民在面对违法建筑物经举报但相关部门不作为的情况下，完全有权提起行政复议以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。