结论前置：银行柜员多给客户1000元钱，银行有权要求客户返还，若客户拒绝返还，银行可通过协商、民事诉讼等途径追回款项。以下从法律原理、银行追款途径、客户可能面临的法律后果三个角度展开分析：

1. 法律原理：不当得利制度

根据《中华人民共和国民法典》第九百八十五条，不当得利是指没有法律根据，取得不当利益，造成他人损失的情形。银行柜员因操作失误多付1000元，客户因此获得利益，银行遭受损失，且两者之间存在直接因果关系，符合不当得利的构成要件。因此，银行有权要求客户返还该款项。

2. 银行追款途径

• 协商解决：银行可首先通过电话、书面通知等方式与客户沟通，说明情况并要求返还。这是最直接、成本最低的方式。
• 民事诉讼：若协商无果，银行可向法院提起不当得利返还之诉，要求客户返还1000元及可能产生的利息（如银行因资金占用产生的损失）。诉讼中，银行需提供监控录像、交易记录、柜员操作记录等证据证明多付事实。
• 报警处理：虽然不当得利属于民事纠纷，但若客户拒不返还且数额较大（通常需达到3000元以上才构成刑事犯罪中的“盗窃罪”或“侵占罪”），银行可报警，由公安机关协助调解或进一步处理。但1000元一般不构成刑事犯罪，公安机关可能仅协助调解。

3. 客户可能面临的法律后果

• 返还义务：客户若被认定构成不当得利，必须返还1000元及可能产生的利息，否则法院可强制执行（如冻结银行账户、划扣存款等）。
• 信用影响：若客户拒不履行法院判决，可能被列入失信被执行人名单，影响个人征信（如贷款、出行、消费等受限）。
• 刑事风险（极低）：如前所述，1000元一般不构成刑事犯罪，但若客户通过欺骗、威胁等手段获取款项，或多次实施类似行为，可能涉嫌其他犯罪（如诈骗罪、寻衅滋事罪等），但本案中不涉及此类情形。

4. 实务建议

• 对银行：保留完整证据链（如监控、交易记录、柜员操作记录等），优先通过协商解决，若无效及时起诉。
• 对客户：若收到银行通知，应主动核实情况并返还款项，避免不必要的法律纠纷和信用损失。若认为银行主张不成立（如银行曾承诺给予奖励等），可要求银行提供证据或通过法律途径解决。

总结：银行多付1000元属于不当得利，客户有返还义务。银行可通过协商、诉讼等途径追回，客户拒不返还可能面临强制执行和信用损失。建议双方理性处理，避免矛盾升级。如有进一步疑问，可直接向我咨询。