结论前置：

1. 哺乳期员工劳动合同到期时，用人单位有义务将合同期限顺延至哺乳期结束，这是法律的明确规定，并非“自动顺延”但具有自动延续的法律效果，且建议用人单位以书面形式告知员工。
2. 若员工不愿意签署书面顺延协议，这并不影响劳动合同的顺延效力，用人单位仍应履行顺延义务，并保留好相关证据以应对可能的争议。

详细分析：

一、法律义务与顺延效力

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条的规定，当女职工在劳动合同期满时正处于孕期、产期或哺乳期内，用人单位不得直接终止劳动合同，而是应当将劳动合同的期限顺延至这些特殊生理情形消失时为止，即哺乳期结束。这一规定是强制性的，用人单位必须遵守，以确保女职工在特殊生理时期的合法权益不受损害。虽然法律并未明确规定必须“书面告知”，但为了明确双方的权利义务，避免后续争议，建议用人单位以书面形式告知员工劳动合同将顺延至哺乳期结束。

二、书面告知的必要性

书面告知的重要性在于它能为双方提供一个明确的、可追溯的证据，证明用人单位已经履行了顺延劳动合同的义务。如果仅以口头形式告知，一旦发生争议，双方可能因记忆不清或理解差异而产生分歧，导致用人单位面临不必要的法律风险。因此，尽管法律没有强制要求书面告知，但从风险防控的角度出发，书面告知是更为稳妥的做法。

三、员工不愿意签署的处理

如果员工不愿意签署书面顺延协议，用人单位仍应履行顺延义务。因为劳动合同的顺延是基于法律的强制性规定，而非员工的签署行为。员工不愿意签署可能出于多种原因，如对法律条款的不了解、对用人单位的不信任等。在这种情况下，用人单位可以采取以下措施：

1. 再次沟通解释：向员工详细解释劳动合同顺延的法律依据和必要性，以及顺延期间双方的权利义务关系，争取员工的理解和配合。

2. 保留沟通记录：如果员工仍然拒绝签署，用人单位应保留好与员工的沟通记录，如邮件、短信、录音等，以证明用人单位已经履行了告知义务。

3. 继续履行顺延义务：无论员工是否签署书面协议，用人单位都应按照法律规定继续履行劳动合同至哺乳期结束，并确保员工的工资、福利等不受影响。

四、可能的法律后果

如果用人单位未按照法律规定顺延劳动合同，或者在顺延期间擅自终止劳动合同，将可能面临以下法律后果：

1. 继续履行合同：员工有权要求用人单位继续履行原劳动合同至哺乳期结束。

2. 支付赔偿金：如果用人单位违法终止劳动合同，员工还有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

五、建议与总结

为了避免不必要的法律风险，建议用人单位在劳动合同到期前，主动与处于哺乳期的女职工沟通，明确告知劳动合同将顺延至哺乳期结束，并尽量以书面形式确认。如果员工不愿意签署书面协议，用人单位应保留好沟通记录，并继续履行顺延义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。