结论：劳务派遣员工在事业单位工作20年后被开除，是否有赔偿需根据开除的具体原因和劳动合同法的相关规定来判断。以下分情况详细说明：

1. 合法解除劳动合同的情况：

   • 如果劳务派遣员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，事业单位（实际用工单位）或劳务派遣单位（用人单位）可以合法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条：“劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。”

2. 需要支付经济补偿的情况：

   • 如果劳务派遣员工不存在上述违法情形，而是因事业单位或劳务派遣单位的原因（如经营困难、岗位调整等）被开除，且符合《劳动合同法》第四十六条规定的情形，如劳动合同期满终止、用人单位提出并与劳动者协商一致解除劳动合同等，事业单位或劳务派遣单位应支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算：根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，若您在事业单位工作20年，经济补偿应为20个月的工资。
   • 法律依据：《劳动合同法》第四十六条：“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：……（二）用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；（三）用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的；……（七）法律、行政法规规定的其他情形。”以及第四十七条关于经济补偿的计算方式。

3. 违法解除劳动合同的情况：

   • 如果事业单位或劳务派遣单位违法解除劳动合同，如未提前通知、未支付经济补偿等，您有权要求继续履行劳动合同或要求支付赔偿金。
   • 赔偿金的计算：根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。因此，若您被违法开除，赔偿金应为40个月的工资（即20个月经济补偿的两倍）。
   • 法律依据：《劳动合同法》第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”

建议：

• 首先，确认开除的具体原因和依据，以及是否收到了正式的书面通知。
• 其次，收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明您的工作年限和工资水平。
• 最后，根据具体情况，与事业单位或劳务派遣单位协商解决，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。