结论：邻居故意挖深公共排水沟的行为，可能涉及违法，具体需根据行为后果及法律规定来判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、民事侵权层面
相邻权保护：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，不动产权利人应当为相邻权利人用水、排水提供必要的便利。公共排水沟作为邻里间共同使用的排水设施，其正常状态对于保障各方的排水权益至关重要。
- 若邻居故意挖深公共排水沟，导致排水不畅或对其他邻居的排水造成实质性影响，这可能构成对相邻权的侵犯。受影响的邻居有权要求停止侵害、排除妨碍，并可能索赔因排水受阻导致的损失。
公共设施保护：
- 公共排水沟作为小区或社区的公共设施，其维护和管理通常属于物业或相关管理部门的职责。若邻居的行为破坏了公共排水沟的正常功能，物业或管理部门也有权要求其恢复原状或承担修复费用。
二、行政违法层面
治安管理处罚：
- 若邻居的行为引发了邻里间的争吵或肢体冲突，或者故意损毁了公共排水沟这一公私财物，该行为可能违反《中华人民共和国治安管理处罚法》。根据具体情节，邻居可能面临警告、罚款、行政拘留等行政处罚。
破坏公共设施：
- 如果公共排水沟属于政府投资建设的公共设施，邻居故意挖深的行为还可能构成破坏公共设施的行为，根据相关法律法规，可能面临更严厉的行政处罚。
三、刑事犯罪层面（极端情况）
- 故意毁坏财物罪：
- 在极端情况下，如果邻居的行为导致公共排水沟严重损坏，且修复费用巨大，或者对其他邻居的财产造成了重大损失，且符合故意毁坏财物罪的构成要件，邻居可能涉嫌犯罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意毁坏公私财物，数额较大或有其他严重情节的，将面临刑事处罚。
四、法律建议与行动指南
收集证据：
- 如果您认为邻居的行为构成了违法或侵权，首先应收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明邻居的行为及其后果。
协商与调解：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与邻居进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。如果协商无果，您可以向物业、居委会或相关部门申请调解。
法律途径：
- 如果调解仍无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括向法院提起民事诉讼，要求邻居停止侵害、排除妨碍、赔偿损失；或者向公安机关报案，要求追究邻居的行政或刑事责任。
五、总结与提醒
- 邻里间应秉持和睦相处的原则，尊重他人的合法权益，避免采取过激行为。在遇到排水等公共设施问题时，应通过协商、调解等合法途径解决。
- 如果您认为邻居的行为已经构成了违法或侵权，请及时收集证据并寻求法律帮助。作为专业律师，我能够为您提供全面的法律咨询和代理服务，帮助您维护自己的合法权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。