结论：在老人把定期存款悄悄给了照顾的女儿，老人离世后儿子不认可的情况下，举证责任通常落在主张权利存在或变更的一方，即女儿需要举证证明老人确实将定期存款赠与了她。
分析说明：
举证责任的一般原则：
- 在民事诉讼中，举证责任通常遵循“谁主张，谁举证”的原则。这意味着，如果一方主张某项权利或事实的存在，那么该方需要提供证据来证明其主张。
具体到本案例：
- 女儿作为主张老人将定期存款赠与她的一方，需要承担举证责任。她需要提供证据，如银行转账记录、赠与合同、老人的书面声明或遗嘱等，来证明老人确实将存款赠与了她。
- 如果女儿无法提供充分的证据来证明其主张，那么法院可能无法认定赠与事实的存在，从而可能按照法定继承来处理老人的遗产。
儿子不认可的情况：
- 儿子作为潜在的继承人，如果对女儿的主张不认可，他不需要承担举证责任来证明女儿没有得到赠与。相反，他可以等待女儿提供证据，并在必要时提出反驳证据。
- 如果儿子认为老人的存款应该按照法定继承来分配，他也可以提供相关证据，如老人的其他财产情况、家庭关系等，来支持自己的主张。
证据的充分性和合法性：
- 女儿提供的证据需要充分、合法且有效，才能被法院采纳。例如，银行转账记录需要显示老人确实将存款转入了女儿的账户；赠与合同需要符合法律规定的形式和要件；老人的书面声明或遗嘱需要是老人真实意思的表示，且符合法律规定的遗嘱形式。
特殊场景：
- 如果女儿能够证明老人有明确的赠与意愿，并且该赠与行为符合法律规定的要件（如老人具有完全民事行为能力、赠与财产是老人合法所有的财产等），那么即使儿子不认可，法院也可能认定赠与事实的存在。
- 如果老人留下的遗嘱中明确指定了存款的归属，那么遗嘱的效力将优先于法定继承，女儿可以根据遗嘱来主张权利。
行动建议：
- 女儿：如果女儿确实得到了老人的赠与，她应该尽快收集并保存相关证据，如银行转账记录、赠与合同、老人的书面声明或遗嘱等。在必要时，她可以寻求专业律师的帮助来准备和提交证据。
- 儿子：如果儿子对女儿的主张有异议，他可以等待女儿提供证据，并在必要时提出反驳证据。他也可以咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及如何维护自己的合法权益。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受赠与的合同。赠与人在赠与财产的权利转移之前可以撤销赠与，但经过公证的赠与合同或者依法不得撤销的具有救灾、扶贫、助残等公益、道德义务性质的赠与合同除外。
- 在继承方面，如果老人没有留下遗嘱，那么他的遗产将按照法定继承来分配。法定继承人包括配偶、子女、父母等。在分配遗产时，同一顺序继承人继承遗产的份额一般应当均等，但也可以协商不均等分配。