结论：单位不能随意开除患上精神分裂且已工作8年的50多岁员工，但具体是否构成违法解除劳动合同，需结合实际情况判断。以下从不同角度进行分析：

一、从医疗期角度分析

1. 医疗期规定：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。您已在该单位工作8年，按照规定，医疗期至少为9个月（具体医疗期时长可能因地区政策略有差异，但通常不会低于此标准）。
2. 医疗期内解除限制：在医疗期内，单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。若单位在医疗期内开除您，属于违法解除劳动合同。

二、从是否构成丧失劳动能力角度分析

1. 劳动能力鉴定：若您的精神分裂症经劳动能力鉴定委员会鉴定为完全丧失劳动能力或大部分丧失劳动能力，且无法从事原工作或单位另行安排的工作，单位需按照相关规定支付经济补偿后解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资。不过，若您处于医疗期内，单位仍不得解除劳动合同。
2. 未构成丧失劳动能力：若您的精神分裂症未构成丧失劳动能力，或虽构成部分丧失劳动能力但仍能从事原工作或单位另行安排的工作，单位无合法理由不得解除劳动合同。若单位强行解除，属于违法解除。

三、从单位解除程序角度分析

1. 合法解除程序：若单位认为您因精神分裂症无法继续履行劳动合同，需按照法定程序进行。首先，应提供证据证明您无法从事原工作或单位另行安排的工作；其次，应与您协商解除劳动合同或提前三十日以书面形式通知您本人；最后，应按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿。
2. 违法解除后果：若单位未按照法定程序解除劳动合同，或解除理由不合法，您有权要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。

四、建议与行动

1. 保留证据：建议您保留好与精神分裂症相关的医疗证明、诊断书、病历等证据，以及您在单位的工作年限证明（如劳动合同、工资单等）。
2. 与单位协商：在医疗期内，您可与单位协商调整工作岗位或安排病假，以维护自身权益。
3. 申请劳动仲裁：若单位违法解除劳动合同，您可向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。

最后，每个案件的具体情况都有所不同，上述分析仅为一般性建议。若您遇到具体问题，可直接向我咨询，我会根据您的实际情况提供更详细的法律意见。