结论：在丈夫去世的情况下，您仍然有可能起诉第三者和私生子，但具体能否起诉以及起诉的法律依据和效果，需根据具体情况来分析。
一、起诉第三者的可能性及法律依据
道德层面与法律层面的区别：
- 道德上，第三者插足他人婚姻是不被社会所接受的。
- 法律上，单纯的婚外情或通奸行为，并不直接构成法律上的侵权或犯罪，因此，直接起诉第三者要求其承担法律责任（如赔偿精神损失）的难度较大。
特殊情况下的法律责任：
- 如果第三者与您的丈夫以夫妻名义共同生活，可能构成重婚罪，此时您可以向公安机关报案，要求追究其刑事责任。但重婚罪的认定需要严格的证据支持，如他们共同生活的照片、视频、证人证言等。
- 如果第三者通过不正当手段（如欺诈、胁迫）与您的丈夫发生关系，并因此给您造成了损害，您可能可以基于侵权责任法提起诉讼，要求其赔偿损失。但这种情况下的举证难度也较大。
二、起诉私生子的可能性及法律依据
私生子的法律地位：
- 私生子（非婚生子女）在法律上享有与婚生子女同等的权利，包括继承权。因此，您不能直接起诉私生子本人，因为他们是无辜的。
对私生子抚养费的诉求：
- 如果您的丈夫在生前与第三者育有私生子，并承担了抚养费，而这部分费用原本应属于您和丈夫的共同财产，您可能可以基于夫妻共同财产的保护原则，向法院提起诉讼，要求第三者返还部分或全部抚养费。但这需要证明该费用确实属于夫妻共同财产，且丈夫的支付行为未经您同意或超出了合理范围。
继承权方面的考量：
- 私生子作为您丈夫的法定继承人之一，有权继承您丈夫的遗产。如果您认为私生子的存在影响了您或您子女的继承权，您可以在遗产分割时提出异议，并要求按照法定继承顺序和比例进行分割。但这并不构成对私生子的直接起诉，而是遗产继承纠纷的处理。
三、实际操作中的建议
收集证据：
- 无论您打算起诉第三者还是处理与私生子相关的遗产问题，都需要收集充分的证据来支持您的主张。这可能包括您丈夫与第三者的通信记录、照片、视频、证人证言等。
咨询专业律师：
- 由于这类案件涉及复杂的法律关系和证据收集，建议您在采取行动前咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我擅长处理婚姻家庭领域的法律问题）。律师可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议，并帮助您制定合适的诉讼策略。
考虑心理支持：
- 这类案件往往伴随着强烈的情感波动和心理压力。在处理法律问题的同时，也请您关注自己的心理健康，必要时寻求心理咨询师的帮助。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。