结论：没有派遣合同，但只有银行工资流水的情况下，您仍然有可能申请劳动仲裁，但具体能否成功需结合其他证据和案件具体情况综合判断。
分析说明：
劳动仲裁的申请条件：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种法律途径，其申请条件并不完全依赖于书面合同的存在。根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，只要存在劳动关系争议，劳动者就有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
银行工资流水的作用：
- 银行工资流水是证明劳动关系存在的重要证据之一。它能够显示您与用人单位之间的经济往来，特别是工资支付记录，这通常被视为劳动关系存在的直接证据。
其他可能需要的证据：
- 尽管银行工资流水是重要证据，但为了更全面地证明劳动关系，您可能还需要提供其他证据，如工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。这些证据可以辅助证明您与用人单位之间存在事实上的劳动关系。
劳务派遣的特殊性：
- 在劳务派遣的情况下，虽然您可能与劳务派遣公司没有签订书面派遣合同，但如果您实际上是在为用工单位提供劳动，并且用工单位通过劳务派遣公司向您支付工资，那么您仍然可以基于事实劳动关系申请劳动仲裁。此时，银行工资流水将作为证明您与劳务派遣公司或用工单位之间存在劳动关系的关键证据。
法律建议：
- 收集证据：除了银行工资流水外，尽可能收集其他能够证明劳动关系的证据，如上述提到的工作证、考勤记录等。
- 咨询专业律师：在申请劳动仲裁前，建议咨询专业律师，了解您的具体权益和可能的法律风险。律师可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和策略。
- 准备仲裁材料：根据仲裁委员会的要求，准备完整的仲裁申请材料，包括仲裁申请书、证据清单及相关证据材料等。
可能后果：
- 如果您能够提供充分的证据证明与用人单位之间存在劳动关系，那么劳动仲裁委员会可能会支持您的仲裁请求，如要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金等。
- 如果证据不足或存在争议，仲裁委员会可能会驳回您的仲裁请求或要求您补充证据后重新申请仲裁。
行动建议：
- 立即开始收集和整理相关证据，确保在申请劳动仲裁时能够提供充分的证明材料。
- 如有需要，直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。