结论：私生子在老人已去世且火化、父母子女不愿提供DNA样本的情况下，仍可通过多种方式尝试证明亲子关系，包括收集间接证据、申请司法鉴定（如可能）、提起诉讼并请求法院调查取证等。
详细分析：
收集间接证据：
- 出生记录：如果私生子有出生证明，且出生证明上记载了老人的信息（如作为父亲），这可以作为初步证据。
- 共同生活证据：收集私生子与老人共同生活的照片、视频、证人证言等，证明双方之间存在亲密关系。
- 经济往来证据：如老人向私生子转账的记录、为私生子购买物品的发票等，显示双方之间的经济联系。
- 其他书面证据：如老人写给私生子的信件、遗嘱（如果提及私生子）等，也可能作为证明亲子关系的辅助证据。
申请司法鉴定（如可能）：
- 寻找其他亲属样本：虽然父母子女不愿提供DNA样本，但可以尝试寻找老人的其他亲属（如兄弟姐妹）的DNA样本，通过遗传关系间接推断亲子关系。不过，这种方法在法律上的证明力可能相对较弱，且需要法院的认可。
- 利用已火化遗体的残留物：在极少数情况下，如果火化过程中保留了部分遗体残留物（如牙齿、骨骼碎片等），且这些残留物足够用于DNA提取和分析，那么理论上可以进行亲子鉴定。但这种情况非常罕见，且实际操作中可能面临诸多困难。
提起诉讼并请求法院调查取证：
- 提起确认亲子关系之诉：私生子可以向法院提起诉讼，请求确认与老人之间的亲子关系。在诉讼过程中，可以请求法院调查取证，包括要求其他亲属提供DNA样本、调取相关证据等。
- 法院调查取证：法院有权根据案件需要，调查收集相关证据。如果法院认为有必要，可以要求相关当事人提供DNA样本进行鉴定，或者采取其他措施以查明事实真相。
法律建议：
- 尽早行动：由于老人已经去世且火化，时间越久，相关证据可能越难以收集。因此，建议私生子尽早采取行动，收集证据并提起诉讼。
- 咨询专业律师：在处理此类复杂案件时，咨询专业律师是非常重要的。律师可以提供法律意见、协助收集证据、制定诉讼策略等，提高胜诉的可能性。
- 保持冷静和理性：在处理家庭财产纠纷和亲子关系确认问题时，保持冷静和理性至关重要。避免情绪化行为，以免对案件处理产生不利影响。
可能后果：
- 如果证据充分：如果私生子能够收集到充分的证据证明与老人之间的亲子关系，那么法院可能会确认亲子关系，并据此处理相关财产纠纷。
- 如果证据不足：如果证据不足或无法形成完整的证据链，那么法院可能无法确认亲子关系，私生子的诉求可能得不到支持。
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