结论前置：尽管老人已经去世并火化，私生子仍可以通过多种途径来证明与老人的亲子关系，包括收集医学及生物学证据、生活及社会证据，并通过法律程序来确认。
医学及生物学证据
基因样本比对：
- 尽管老人已经火化，但如果能收集到老人生前留下的基因样本（如毛发、指甲、血迹等），可以进行DNA鉴定来确认亲子关系。若直接样本不可得，可考虑进行亲缘鉴定，通过比对老人其他直系亲属的DNA来间接推断亲子关系。
- 注意：基因样本的收集和鉴定需遵循相关法律法规，并可能需要获得相关部门的许可。
医疗记录：
- 查找母亲怀孕、分娩期间的医院病历、产检记录等，这些记录中可能包含父亲的信息或间接佐证亲子关系。例如，如果产检记录中有老人的陪同签字或相关医疗建议，这可以作为间接证据。
生活及社会证据
证人证言：
- 寻找了解情况的证人，如双方共同的朋友、邻居、同事等，他们可能能提供证言证明老人与私生子之间的亲密关系及抚养行为。
- 接生人员、医护人员等也可能提供相关证言，证明孩子出生时的情况及父亲是否在场。
书面材料：
- 查找老人生前写下的书信、日记、遗嘱等书面材料，看是否有提及私生子并承认亲子关系的内容。
- 若有老人签署的涉及孩子抚养、教育费用等相关协议或文件，也能作为有力证据。
照片、影像资料：
- 收集老人与私生子的合影、共同生活的视频等资料，这些视听资料可以直观地反映出双方的亲密关系。
经济支持证据：
- 如银行转账记录、抚养费支付凭证等，表明老人曾为私生子的抚养提供过经济支持。
法律程序及其他证据
出生证明：
- 如果私生子的出生证明上记录了老人的名字作为父亲，这是最直接的证据。
户籍登记：
- 查看户籍登记信息，如果私生子的户籍登记中有关于父亲的信息，且该信息指向老人，可作为初步证明材料。但需注意，户籍登记信息本身可能需要其他证据进一步佐证。
法院调查及推定：
- 在诉讼过程中，若一方已提供必要证据证明亲子关系存在，而另一方无相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可推定请求确认亲子关系一方的主张成立。
向法院提起诉讼：
- 在收集到足够证据后，可向法院提起诉讼，请求确认亲子关系，并提交所收集的证据。法院将依法进行审理，并作出判决。
寻求公证机构帮助：
- 在某些情况下，公证机构也可能根据提供的证据出具亲子关系公证书。
注意事项
- 在处理此类问题时，应尊重逝者和所有相关方的隐私和尊严，并遵守当地的法律法规。
- 由于每个案件的具体情况不同，如果你在收集证据或法律程序上遇到困难，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供针对性的法律建议和指导。
通过上述途径和证据的综合运用，私生子可以有效地证明与已故老人之间的亲子关系，为相关权益的保障提供法律依据。