结论前置：家属通常不直接拥有拷贝交通事故监控录像的权利，但可以通过合法途径依法申请查看并可能获得拷贝。
一、向交警部门申请查看与拷贝
申请程序：
- 家属应向处理该起交通事故的交警部门提出书面申请，明确说明自己与事故当事人的关系、查看及拷贝的目的。
- 交警部门在接到申请后，会进行审查，评估查看监控录像的必要性、合法性和可行性。若符合相关规定，将作出允许查看的决定，并可能允许拷贝与事故直接相关的时间段录像。
拷贝限制：
- 即便允许查看，交警部门也不一定会同意拷贝全部视频资料。通常，只允许拷贝与事故直接相关的时间段录像，以确保信息的准确性和针对性，同时保护其他时间段内可能涉及的隐私信息。
二、通过诉讼程序获取
诉讼阶段：
- 如果事故涉及诉讼（如民事赔偿诉讼），家属作为当事人或其代理人，可以在诉讼过程中通过法定程序向法院申请调取相关监控视频作为证据。
法院裁定：
- 法院在审理案件时，若认为该视频对查明案件事实有重要作用，会依法要求交警部门提供。此时，家属可能通过合法的司法程序获得视频的拷贝件。
三、通过律师申请调查令
律师协助：
- 若家属无法通过直接途径从交警部门获取视频，可以委托专业律师（如我）向人民法院申请调查令。
调查令效力：
- 律师持调查令可向交警部门调取视频监控。此方式更为正式且法律程序化，但需耗费一定时间，且需确保调查令的合法性和有效性。
四、特殊情况与注意事项
涉及隐私或保密内容：
- 如果交通事故录像涉及国家秘密、商业秘密或者个人隐私，以及应当事人、证人要求保密的内容，拷贝可能会受到限制。家属在申请时需遵守相关法律法规，不得非法获取或传播视频资料。
证据链完整性：
- 监控录像作为证据之一，应结合其他证据共同使用，以形成完整的证据链来支持当事人的主张或诉讼请求。家属在获取视频后，应妥善保管并合理使用，避免影响其法律效力。
客观公正态度：
- 家属在查看和拷贝监控录像时，应保持客观、公正的态度，不得进行篡改、删除或伪造等操作。这些行为不仅可能影响视频的法律效力，还可能构成违法行为，需承担相应的法律责任。
五、法律背景与依据
- 《道路交通事故处理程序规定》第六十五条：当事人收到道路交通事故认定书后，可以查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料，包括监控录像（但需遵守证人保密、国家秘密、商业秘密及个人隐私等相关法律法规）。
- 《中华人民共和国刑事诉讼法》第五十四条：人民法院、人民检察院和公安机关有权向有关单位和个人收集、调取证据。有关单位和个人应当如实提供证据。行政机关在行政执法和查办案件过程中收集的物证、书证、视听资料、电子数据等证据材料，在刑事诉讼中可以作为证据使用。
综上所述，家属在尝试拷贝交通事故监控录像时，应充分了解并遵循相关法律程序和规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。