结论：家属通常不直接拥有拷贝车祸视频监控的权利，但可以通过特定途径依法申请查看并可能获得拷贝。
一、向交警部门申请查看与拷贝
申请程序：
- 家属可以向处理该起事故的交警部门提出申请，明确说明自己与事故当事人的关系（如直系亲属、配偶等）以及查看和拷贝监控视频的目的（如了解事故经过、准备法律诉讼等）。
- 交警部门会依据案件具体情况和相关规定，审核决定是否允许家属在特定场所、按照一定程序查看监控视频。
拷贝限制：
- 即便交警部门允许查看，也不一定会同意拷贝全部视频资料。通常，只允许拷贝与事故直接相关的时间段录像，以确保信息的准确性和针对性。
- 拷贝的视频资料应仅用于合法目的，如法律诉讼、保险理赔等，不得擅自传播或用于其他非法用途。
二、通过诉讼程序获取
诉讼阶段：
- 如果事故涉及诉讼（如民事赔偿诉讼），家属作为当事人或其代理人，可以在诉讼过程中通过法定程序向法院申请调取相关监控视频作为证据。
法院裁定：
- 法院在审理案件时，若认为该视频对查明案件事实有重要作用，会依法要求交警部门提供。此时，家属可能通过合法的司法程序获得视频的拷贝件。
三、通过律师申请调查令
律师协助：
- 若家属无法通过直接途径从交警部门获取视频，可以委托专业律师向人民法院申请调查令。律师会协助准备相关申请材料，并代表家属向法院提出申请。
调查令效力：
- 律师持调查令可向交警部门调取视频监控。此方式更为正式且法律程序化，但需耗费一定时间，并且需要满足法院对调查令申请的相关要求。
四、法律规定与注意事项
法律依据：
- 根据《道路交通事故处理程序规定》第八十六条，当事人及其代理人收到道路交通事故认定书后，可以查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料。但涉及国家秘密、商业秘密或者个人隐私，以及应证人要求保密的内容除外。
隐私保护：
- 若视频涉及他人隐私或敏感信息，需经过特殊处理或获得相关许可才能查看和拷贝，以避免侵犯他人合法权益。家属在申请查看和拷贝视频时，应尊重并保护他人的隐私权。
合法使用：
- 家属获得的视频资料应仅用于合法目的，并遵守相关法律法规的规定。不得擅自传播、泄露或用于其他非法用途，否则可能承担相应的法律责任。
五、实际操作建议
- 及时报案：事故发生后应立即报警，由交警部门介入调查并固定现场证据。这有助于后续申请查看和拷贝监控视频。
- 配合调查：积极配合交警部门的调查取证工作，包括提供证人证言、车辆信息等。这有助于加快案件处理进度，并增加获得视频拷贝的可能性。
- 咨询律师：在申请查看和拷贝监控视频过程中，如遇疑问或困难，建议直接向我咨询以获取准确的法律意见和指导。
希望以上解答能对您有所帮助。如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。