家属在符合一定条件和程序下，有权申请查看交通事故相关的监控录像，但通常不直接拥有拷贝监控录像的权利。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与权利基础

1. 《道路交通事故处理程序规定》第六十五条：

   • 当事人收到道路交通事故认定书后，可以查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料，这包括监控录像。但需遵守证人保密、国家秘密、商业秘密及个人隐私等相关法律法规。

2. 《中华人民共和国刑事诉讼法》第五十四条：

   • 人民法院、人民检察院和公安机关有权向有关单位和个人收集、调取证据。在交通事故处理中，若监控录像作为证据使用，相关机关有权调取，当事人也有权申请查看。

二、查看监控的程序与限制

1. 提出申请：

   • 家属应向处理交通事故的公安机关提出书面申请，明确说明查看监控录像的目的和理由。

2. 审查决定：

   • 公安机关在接到申请后，会进行审查，评估查看监控录像的必要性、合法性和可行性。若符合相关规定，将作出允许查看的决定；若不符合，将说明理由并告知申请人。

3. 查看安排：

   • 在获得许可后，家属应在指定时间、地点，按照公安机关的要求和规定查看监控录像。但通常，公安机关不会直接允许家属拷贝全部视频资料，而是允许查看与事故直接相关的时间段录像。

三、特殊情况处理与拷贝限制

1. 敏感信息保护：

   • 如果监控录像涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等敏感信息，公安机关可能会拒绝或限制家属的查看申请，以保护相关信息的安全和隐私。

2. 案件侦查阶段：

   • 如果案件正在侦查阶段，公安机关出于保密需要，也可能会暂时拒绝家属的查看申请。但在案件进入诉讼阶段后，家属可通过法律程序申请查看。

3. 拷贝限制：

   • 即便允许查看，交警部门也不一定会同意拷贝全部视频资料。通常，只允许拷贝与事故直接相关的时间段录像，以确保信息的准确性和针对性。若家属希望拷贝视频，可能需要通过诉讼程序或律师申请调查令等方式进行。

四、法律建议与注意事项

1. 遵循法律程序：

   • 家属在申请查看或拷贝监控录像时，应严格遵循相关法律程序和规定，确保自身行为的合法性。

2. 保护隐私与敏感信息：

   • 若视频涉及他人隐私或敏感信息，家属应尊重并保护这些信息，避免侵犯他人合法权益。

3. 寻求专业帮助：

   • 若家属在申请查看或拷贝监控录像时遇到困难或疑问，可以直接向我咨询，以确保自身权益得到妥善维护。

总结来看，家属在交通事故后有权申请查看监控录像，但这一权利并非绝对无条件，且通常不直接拥有拷贝监控录像的权利。家属需要遵循一定的程序和规定，并在必要时寻求专业法律帮助来确保自身权益的实现。