员工在单位吵架后，公司是否有权利开除员工，需综合考虑公司的规章制度、员工行为的性质与后果，以及公司处理程序的合法性。以下从这几个方面为你详细分析：

一、公司的规章制度

1. 规章制度的合法性：公司必须确保规章制度是依法制定并公示的，例如经过民主程序制定、向员工公示等。若规章制度本身存在违法或未经合法程序制定，则不能作为开除员工的依据。
2. 规章制度的内容：若规章制度中明确将员工之间严重的吵架、扰乱工作秩序等行为列为严重违纪情形，且员工吵架行为确实符合这些描述，则公司有权依据规章制度开除员工。例如，规章制度中明确规定“员工之间不得在工作场所发生争吵、辱骂等行为，否则视为严重违纪，公司有权解除劳动合同”，且员工确实存在此类行为，那么公司开除员工就具有合法性。

二、员工行为的性质与后果

1. 严重性评估：吵架行为是否严重到足以构成违纪，需根据具体情况评估。例如，办公区域内大声争吵、相互辱骂且严重影响正常工作秩序的行为，更可能被认定为严重违纪。而轻微的口角或短暂争执，若未对工作造成实质性影响，则不宜直接作为开除理由。比如，两位员工因工作意见不合发生短暂争执，但很快平息，且未影响工作进度和其他员工的工作，这种情况下公司开除员工就可能缺乏合理性。
2. 特殊情节考虑：若吵架过程中涉及种族、性别、宗教等歧视性言论，或对他人进行严重威胁、暴力等违法行为，即使公司规章制度未明确规定，公司基于维护正常工作环境和合法权益考虑，也有权开除员工。例如，员工在吵架过程中使用歧视性语言侮辱同事，或者对同事进行威胁、推搡等行为，这些行为不仅违反了公司的规章制度，也可能触犯了法律法规，公司有权开除该员工。

三、处理程序的合法性

即便员工吵架行为构成严重违纪，公司在开除员工时也需遵循法定程序：

1. 通知与调查：公司应首先对吵架事件进行调查，收集相关证据，并确保调查过程的公正性。比如，公司可以询问在场的其他员工，调取监控录像等，以了解吵架的具体情况。
2. 陈述与申辩机会：在作出开除决定前，公司应给予员工陈述和申辩的机会，以确保决定的公正性和合理性。员工有权对自己的行为进行解释和说明，公司应认真听取员工的意见。
3. 书面通知与经济补偿：开除决定应以书面形式通知员工，并说明开除的理由和依据。若开除决定被认定为违法，公司可能需支付经济补偿或赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准按照员工在本单位工作的年限和月工资标准计算。

四、赔偿问题

1. 合法开除无需赔偿：若员工吵架行为被认定为严重违反公司规章制度，且公司开除程序合法，则公司无需支付任何赔偿。
2. 违法开除需赔偿：若员工吵架行为未达到严重违纪程度，或公司开除程序不合法，则公司可能需要支付经济补偿或赔偿金。具体金额根据员工在本单位工作的年限和月工资标准计算，计算公式为：赔偿金=工作年限×月工资×2（若公司违法解除劳动合同）。例如，员工在公司工作了3年，月工资为5000元，如果公司违法解除劳动合同，那么公司需要支付给员工的赔偿金为3×5000×2=30000元。

建议：公司在处理员工吵架问题时，应谨慎行事，确保处理过程公正、合法，以维护公司的正常运营和员工的合法权益。同时，员工也应遵守公司规章制度，避免不当行为给自己和公司带来不必要的麻烦。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。