核心结论：在父亲已故且财产登记在母亲名下的情况下，子女继承的份额取决于财产的性质（是否为夫妻共同财产）以及是否存在合法有效的遗嘱。若财产为夫妻共同财产，子女继承的份额通常为父亲所占份额的一部分；若财产为母亲个人财产，子女则无权直接继承该部分财产，除非母亲通过遗嘱指定子女为继承人。
详细分析：
财产性质的区分：
- 夫妻共同财产：如果财产是父母婚后共同取得的，如共同购买的房产、存款等，那么这些财产属于夫妻共同财产。在父亲去世时，首先需要对夫妻共同财产进行分割，通常夫妻双方各占一半。分割后，属于父亲的那一半财产才构成其遗产，由法定继承人继承。
- 个人财产：如果财产是母亲婚前个人所有，或者遗嘱、赠与合同中确定只归母亲一方的财产，那么这些财产属于母亲的个人财产。在父亲去世时，这些财产不纳入父亲的遗产范围，子女无权直接继承。
遗产继承的顺序与规则：
- 法定继承：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产继承的第一顺序包括配偶、子女、父母。在父亲去世时，如果他没有留下合法有效的遗嘱，那么他的遗产将由母亲、子女和其他第一顺序继承人共同继承。通常情况下，遗产会在继承人之间均分，但也可以根据实际情况进行调整，如对生活有特殊困难且缺乏劳动能力的继承人予以照顾，或者对尽了主要扶养义务的继承人多分等。
- 遗嘱继承：如果父亲在生前留下了合法有效的遗嘱，指定了遗产的继承人或分配方式，那么遗产将按照遗嘱进行分配。在这种情况下，子女继承的份额将取决于遗嘱的具体内容。
子女继承份额的具体计算：
- 夫妻共同财产情况下的计算：假设父母婚后共同购买了一套价值200万的房子，父亲去世时，该房子首先作为夫妻共同财产进行分割，母亲获得100万（房子价值的一半）。剩下的100万作为父亲的遗产，由母亲、子女和其他第一顺序继承人共同继承。如果母亲、子女和其他第一顺序继承人共三人，且没有特殊情况需要调整分配比例，那么每人将继承约33.33万（100万除以3）。
- 个人财产情况下的计算：如果房子是母亲婚前个人所有，那么父亲去世时，子女无权直接继承该房子。除非母亲通过遗嘱指定子女为继承人，否则子女将无法获得该房子的继承权。
特殊情况的处理：
- 继承人放弃继承：如果某个继承人放弃继承权，那么他的份额将由其他继承人继承。
- 继承人丧失继承权：根据法律规定，如果继承人存在故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等行为，将丧失继承权。
- 遗嘱的效力：如果遗嘱存在无效情形，如遗嘱人无民事行为能力、遗嘱内容违法等，那么遗嘱将无效，遗产将按照法定继承进行分配。
建议与行动：
- 了解财产性质：首先，需要了解父亲去世时留下的财产是夫妻共同财产还是母亲的个人财产。这可以通过查看房产证、购房合同、银行流水等证据来确定。
- 查找遗嘱：如果父亲留下了遗嘱，需要查找并确认遗嘱的合法性和有效性。如果遗嘱存在争议或无效情形，可能需要通过法律途径解决。
- 协商继承：在了解财产性质和遗嘱情况后，可以与其他继承人协商继承事宜。如果协商无果，可以考虑通过调解或诉讼等方式解决争议。
- 办理继承手续：在确定继承份额后，需要按照相关法律法规办理继承手续，如遗产公证、房产过户等。这些手续可能因地区而异，建议咨询当地相关部门或律师以获取准确信息。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条：遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条：继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
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