行政公益诉讼案件终结的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，具体终结情形及依据如下：
原告撤诉：
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第六十二条，人民法院对行政案件宣告判决或者裁定前，原告申请撤诉的，或者被告改变其所作的行政行为，原告同意并申请撤诉的，是否准许，由人民法院裁定。
- 分析：在行政公益诉讼中，如果原告（通常是检察机关或符合条件的公益组织）认为被告（行政机关）已经纠正了违法行为或履行了法定职责，或者出于其他考虑，可以申请撤诉。法院在审查后，如果认为撤诉申请符合法律规定，可以裁定准许撤诉，从而终结案件。
被告履行法定职责：
- 法律依据：虽然直接的法律条款可能并未明确提及“被告履行法定职责”作为终结案件的直接依据，但根据行政公益诉讼的目的和原则，当被告行政机关已经履行了其应当履行的法定职责，纠正了违法行为，保护了公共利益时，案件的目的已经实现，因此可以终结。
- 分析：在行政公益诉讼中，如果被告行政机关在诉讼过程中或诉讼前已经主动履行了法定职责，或者经法院判决后履行了职责，那么案件的诉讼目的已经达成，无需继续诉讼，法院可以裁定终结案件。
法院判决驳回原告诉讼请求：
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第六十九条，行政行为证据确凿，适用法律、法规正确，符合法定程序的，或者原告申请被告履行法定职责或者给付义务理由不成立的，人民法院判决驳回原告的诉讼请求。
- 分析：如果法院经过审理认为，原告提起的行政公益诉讼缺乏事实依据或法律依据，或者被告的行政行为并未违法，那么法院将判决驳回原告的诉讼请求，从而终结案件。
案件涉及的其他终结情形：
- 法律依据：除了上述情形外，还可能存在其他导致案件终结的情形，如原告死亡且没有继承人或继承人放弃诉讼权利的、被告死亡且没有应当承担义务的机关或个人的等。这些情形通常依据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定处理，因为行政诉讼法在程序上往往参照民事诉讼法执行。
- 分析：在行政公益诉讼中，如果发生原告死亡且没有继承人或继承人放弃诉讼权利等情形，导致诉讼无法继续进行，法院将裁定终结案件。同样，如果被告死亡且没有应当承担义务的机关或个人，且该义务不能由其他机关或个人承担，法院也可能裁定终结案件。
在行政公益诉讼案件终结时，法院会制作终结裁定书，明确终结的原因和法律依据，并送达双方当事人。如果案件终结是因为被告履行了法定职责或法院判决驳回了原告诉讼请求，那么这通常意味着公共利益已经得到了保护或原告的诉求没有得到法院的支持。
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